• Coefficiente binomiale

• 0! := 1
• n, k \in \mathbb{N}
• \displaystyle \binom{n}{k}:=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{n !}{n !(n-k) !} & k \leqslant n \\ \\ 0 & k>n\end{array}\right. è detto coefficiente binomiale di n su k

• Hp
  • n, k \in \mathbb{N}
• Th
  • \displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
• Dim
  • \displaystyle \binom{n}{n-k}=\dfrac{n !}{(n-k) !(n-(n-k)) !}=\dfrac{n !}{(n-k) ! k !}= \binom{n}{k}

• Hp
  • n, k \in \mathbb{N}
• Th
  • \displaystyle \binom{n}{k + 1} = \binom{n - 1}{k + 1}+ \binom{n - 1}{ k}
• Dim
  • \displaystyle \binom{n - 1}{k +1}+ \binom{n - 1}{k}=\frac{(n-1) !}{(k+1) !(n-1-(k+1)) !}+\frac{(n-1) !}{k !(n-1-k) !}=\frac{(n-1) !}{(k+1) k !(n-2-k) !}+\frac{(n-1) !}{k !(n-1-k) !} =\frac{(n-1-k)(n-1) !+(k+1)(n-1) !}{(k+1) !(n-1 - k) !}=\frac{(n-1) !(n-1-k+k+1)}{(k+1) !(n-1-k) !}=\frac{(n-1) ! \cdot n}{(k+1) !(n-1-k) !} =\frac{n !}{(k+1) !(n-(k + 1)) !}=\binom{n}{k + 1}

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
  • k \in \mathbb{N} \mid 0 \lt k \lt p
• Th
  • p \ \bigg\vert \displaystyle \binom{p}{k}
• Dim
  • \displaystyle{\binom{p}{k}=\frac{p !}{k !(p-k) !} = \frac{p \cdot (p - 1) !}{k!(p - k)!} = p \cdot \frac{(p - 1)!}{k!(p- k)!}} \implies p è nella fattorizzazione di \displaystyle{\binom{p}{k}}
  • poiché p è primo in ipotesi, non è possibile semplificarlo con nessun fattore del denominatore
    • k \lt p \implies p non può essere nella fattorizzazione di k!
    • p - k \lt p \implies p non può essere nella fattorizzazione di (p - k)!
  • quindi necessariamente p \ \bigg\vert \displaystyle \binom{p}{k}

• Hp
  • n \in \mathbb{Z}
  • p \in \mathbb{P} : p \mid n
  • [a] \in \mathbb{Z}_{p}
  • k \in \mathbb{N} \mid 0 \lt k \lt p
• Th
  • \displaystyle \binom{p}{k} \cdot [a] = [0] in \mathbb{Z}_p
• Dim
  • \displaystyle \binom{p}{k} \cdot[a]=\left[\displaystyle{\binom{p}{k}} \cdot a\right]
  • per il dimostrazione precedente, \displaystyle{p \ \bigg\vert \binom{p}{k}}, quindi \displaystyle \binom{p}{k} \cdot a è anch’esso multiplo di p, e di conseguenza \left[\displaystyle \binom{p}{k} \cdot a\right] = [0] in \mathbb{Z}_p

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
  • [a], [b] \in \mathbb{Z}_p
• Th
  • ([a]+[b])^{p}=[a]^{p}+[b]^{p} in \mathbb{Z}_p
• Dim
  • per il teorema del binomio di Newton ([a]+[b])^{p}=\displaystyle \sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}[a]^{k}\cdot[b]^{p-k}=\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}\left[a^{k} \cdot b^{p-k}\right]
  • per dimostrazione precedente p \in \mathbb{P} \implies \displaystyle{\binom{p}{k}}\left[a^{k} \cdot b^{p-k}\right]= [0] \quad \forall k \in \mathbb{Z} \mid 0 \lt k \lt p
  • di conseguenza, nella sommatoria del binomio di Newton tutti i termini con k \in (0, p) si annullano, in quanto congruenti a [0] in \mathbb{Z}_p
  • \displaystyle ([a]+[b])^{p}=\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}\left[a^{k} \cdot b^{p-k}\right]= \binom{p}{0}[b]^{p}+\binom{p}{p}[a]^{p}=[a]^{p}+[b]^{p}

• Hp

  • p \in \mathbb{P}
  • [a_1], \ldots, [a_n] \in \mathbb{Z}_p

• Th

  • \left(\left[a_{1}\right]+\ldots+\left[a_{n}\right]\right)^{p}=\left[a_{1}\right]^{p}+\ldots+\left[a_{n}\right]^{p} in \mathbb{Z}_p

• Dim

  • n = 1 \implies \left[a_{1}\right]^{p}=\left[a_{1}\right]^{p} per dimostrazione precedente
  • n>1 \implies\left(\left[a_{1}\right]+\ldots+\left[a_{n}\right]+\left[a_{n+1}\right]\right)^{p}= \left[a_{1}\right]^{p}+\ldots+\left[a_{n}\right]^{p}+\left[a_{n+1}\right]^{p}
    • per ipotesi induttiva, \left[a_{1}\right]^{p}+\ldots+\left[a_{n}\right]^{p}+\left[a_{n+1}\right]^{p}= \left(\left[a_{1}\right]+\ldots+\left[a_{n}\right]\right)^{p}+\left[a_{n+1}\right]^{p}
    • allora, ancora per ipotesi induttiva \left(\left[a_{1}\right]+\ldots+\left[a_{n}\right]\right)^{p}+\left[a_{n+1}\right]^{p}= \left(\left[a_{1}\right]+\ldots+\left[a_{n+1}\right]\right)^{p}