• Applicazione multilineare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• V_1, \ldots, V_n, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
• f: V_1 \times \ldots \times V_n \rightarrow W:(v_1, \ldots, v_n) \rightarrow w
• f è detta multilineare \iff \forall i \in [1, n], v_1 , \ldots, v_n \in V_1 \times \ldots \times V_n, v_i, v_i' \in V_i, \lambda, \mu \in \mathbb{K} \quad f(v_1, \ldots, \lambda v_i+\mu v_i', \ldots, v_n) = \lambda f(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_n) + \mu f(v_1, \ldots, v_i', \ldots, v_n)
  • in particolare, tenendo fisse tutte le variabili tranne la i-esima, f è una trasformazione lineare

• Determinante

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• \det : \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K}
• 1. \forall A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \quad \det multilineare su A_1, \ldots A_n e A^1, \ldots, A^n
• 2. \forall A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \quad A_1, \ldots A_n e A^1, \ldots, A^n basi di \mathbb{K}^n \iff \det(A) \neq 0
  • in particolare \exists i, j \in [1, n], i \neq j \mid A^i = A^j \lor A_i = A_j \implies \det(A) = 0
• 3. \det(I_n) = 1
• 4. per \mathbb{K} \mid 1_{\mathbb{K}} \neq -1_{\mathbb{K}} \quad scambiando due righe o due colonne \det(A) cambia segno
  • ad esempio in \mathbb{Z}_2 = \{[0], [1]\} si ha che [1] = [-1]
• \det è detto determinante \iff \det verifica 1, 2 e 3, oppure 1, 3 e 4
  • poiché è possibile dimostrare che la funzione che verifica tali condizioni esiste ed è unica, allora il \det è totalmente determinato da tali caratteristiche

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • \lambda \in \mathbb{K}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • A_i \in A
• Th
  • \det(A_1, \ldots, \lambda A_i, \ldots, A_n) = \lambda \cdot \det(A)
• Dim
  • per il punto 1 della definizione di \det, si ha che \det(A_1, \ldots,\lambda A_i, \ldots, A_n) = \lambda \cdot \det(A_1, \ldots, A_n) = \lambda \cdot \det(A)
  • si noti che la tesi è verificata sia per righe che per colonne, per definizione di \det

• Hp
  • \mathbb{K} campo \mid 1_{\mathbb{K}} \neq -1_{\mathbb{K}}
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • A_i, A_j \in A
• Th
  • \det(A_1, \ldots, A_i, \ldots, A_j , \ldots, A_n) = -\det(A_1, \ldots, A_j, \ldots, A_i, \ldots, A_n)
• Dim
  • per il punto 2 della definizione di \det si ha che \det(A_1, \ldots, A_i + A_j, \ldots, A_j + A_i, \ldots, A_n) = 0
  • allora, per multilinearità di \det si ha che 0 =\det(A_1, \ldots, A_i + A_j, \ldots, A_j + A_i, \ldots, A_n) = \det(A_1, \ldots, A_i, \ldots, A_j + A_i, \ldots, A_n) + \det(A_1, \ldots, A_j, \ldots, A_j + A_i, \ldots, A_n) =\det(A_1, \ldots, A_i, \ldots, A_j, \ldots, A_n)+\det(A_1, \ldots, A_i, \ldots, A_i, \ldots, A_n) + \det(A_1, \ldots, A_j, \ldots,A_j, \ldots, A_n) + \det(A_1, \ldots, A_j, \ldots, A_i, \ldots, A_n) = \det(A_1, \ldots, A_i, \ldots, A_j, \ldots, A_n) + 0 + 0 + \det(A_1, \ldots, A_j , \ldots, A_i, \ldots, A_n) \iff \det(A_1, \ldots, A_i, \ldots, A_j, \ldots, A_n) = -\det(A_1,\ldots, A_j, \ldots, A_i, \ldots, A_n)
  • si noti che la tesi è verificata sia per righe che per colonne, per definizione di \det

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • \mu \in \mathbb{K}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • A_i, A_j \in A
• Th
  • \det(A_1, \ldots, A_i + \mu A_j , \ldots, A_n) = \det(A)
• Dim
  • per il punto 1 della definizione di \det si ha che \det(A_1, \ldots, A_i + \mu A_j , \ldots, A_n) = \det(A_1,\ldots, A_i, \ldots, A_j, \ldots, A_n) + \mu \cdot\det(A_1, \ldots, A_j, \ldots, A_j, \ldots, A_n) = \det(A_1, \ldots, A_n) + \mu \cdot 0 = \det(A)
  • si noti che la tesi è verificata sia per righe che per colonne, per definizione di \det

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \det(A) = \det(A^T)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \displaystyle{\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \textrm{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{i=1}^n{a_{i, \sigma(i)}}}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • A \in \textrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{K})
  • A = \left(\begin{array}{cc}a_{1,1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2}\end{array}\right)
• Th
  • \det(A) = a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}
• Dim
  • \mathcal{S}_2 = \{(1,2), (2,1)\}
  • si noti che \left \{ \begin{array}{l} \textrm{sgn}(1,2)=(-1)^{|\varnothing|}=+1 \\ \textrm{sgn}(2,1)=(-1)^{\left|\{(2,1)\}\right|}=-1 \end{array}\right.
  • allora, per la formula di Leibniz si ha \det(A) = \textrm{sgn}(1, 2) (a_{1,1} a_{2, 2}) + \textrm{sgn}(2,1)(a_{1,2}a_{2,1}) = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • A \in \textrm{Mat}_{3 \times 3}(\mathbb{K})
  • A = \left(\begin{array}{ccc}a_{1,1} & a_{1, 2} & a_{1,3}\\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\end{array}\right)
• Th
  • \det(A) = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}
• Dim
  • \mathcal{S}_3 = \{(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)\}
  • si noti che \left \{ \begin{array}{l} \textrm{sgn}(1,2,3)=(-1)^{|\varnothing|}=+1 \\ \textrm{sgn}(1,3,2)=(-1)^{\left|\{(3,2)\}\right|}=-1 \\ \textrm{sgn}(2,1,3)=(-1)^{\left|\{(2,1)\}\right|}=-1 \\ \textrm{sgn}(2,3,1)=(-1)^{\left| \{(3,1),(2,1)\}\right|}=+1 \\ \textrm{sgn}(3,1,2)=(-1)^{\left|\{(3,1),(3,2)\}\right|}=+1 \\ \textrm{sgn}(3,2,1)=(-1)^{\left|\{(3,2),(2,1),(3,1)\}\right|}=-1 \end{array}\right.
  • allora, per la formula di Leibniz si ha \det(A) =\textrm{sgn}(1,2,3)(a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3})+\textrm{sgn}(1,3,2)(a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2})+\textrm{sgn}(2,1,3)(a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3})+\textrm{sgn}(2,3,1)(a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1})+\textrm{sgn}(3,1,2)(a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2})+\textrm{sgn}(3,2,1)(a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1})=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2})-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \forall 1 \le i, j \le n \quad \det(A) = \displaystyle \sum_{k = 1}^{n}{(-1)^{i + k}\cdot a_{i, k} \cdot \det(A_i^k)} = \sum_{h = 1}^n{(-1)^{h + j}\cdot a_{h, j} \cdot \det(A_h^j)}

• Matrice dei cofattori

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A^* è detta matrice dei cofattori di A \iff \forall i, j \in [1, n] \quad a^*_{i, j} = (-1)^{i + j}\cdot \det(A_i^j)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid \det(A) \neq 0
• Th
  • A^{-1}=\det(A)^{-1} \cdot (A^*)^T

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • A \in \textrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{K}) \mid \det(A) \neq 0
  • A = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)
• Th
  • A^{-1}=\dfrac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  1. A invertibile
  2. \textrm{rk}(A)=n
  3. A_1, \ldots, A_n base di \mathbb{K}^n
  4. A^1, \ldots, A^n base di \mathbb{K}^n
  5. \det(A) \neq 0
  6. A \equiv_R I_n
  7. A \equiv_C I_n
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti
• Dim
  • 1 \iff 2
    • sia B = (B^1, \ldots, B^n) \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A \cdot B = B \cdot A = I_n
    • allora I_n = A \cdot B = (A \cdot B^1, \ldots, A \cdot B^n) = (\mathscr{L}_A(B^1), \ldots, \mathscr{L}_A(B^n)) \iff \left \{ \begin{array}{c} \mathscr{L}_A(B^1) = e_1 \\ \vdots \\ \mathscr{L}_A(B^n) = e_n \end{array} \right.\iff e_1, \ldots, e_n \in \textrm{im}(\mathscr{L}_A) \implies \textrm{span}(e_1, \ldots, e_n) \subseteq \textrm{im}(\mathscr{L}_A)
    • e_1, \ldots, e_n base canonica di \mathbb{K}^n \implies \dim(\textrm{span}(e_1, \ldots, e_n)) = n, allora segue necessariamente che \textrm{span}(e_1, \ldots, e_n) \subseteq \textrm{im}(\mathscr{L}_A) \iff \textrm{span}(e_1, \ldots, e_n) = \textrm{im}(\mathscr{L}_A)
    • allora \textrm{rk}(A) := \textrm{rk}(\mathscr{L}_A) = \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)) = \dim(\textrm{im}(\mathscr{L}_A)) = \dim(\mathbb{K}^n) = n
  • 2 \iff 3 \land 4
    • sia \textrm{rk}(A) = n
    • per dimostrazione precedente n = \textrm{rk}(A) = \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)) = \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_n))
    • in particolare \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_n)) = n \iff \textrm{span}(A_1, \ldots, A_n) = \mathbb{K}^n
    • per dimostrazione precedente A_1, \ldots, A_n generatori di \mathbb{K}^n \iff A_1, \ldots, A_n linearmente indipententi
    • allora, A_1, \ldots, A_n base di \mathbb{K}^n
    • è possibile ripetere il ragionamento analogo per A^1, \ldots, A^n
  • 3 \land 4 \iff 5
    • per definizione di \det, \det(A) \neq 0 \iff A_1, \ldots, A_n e A^1, \ldots, A^n basi di \mathbb{K}^n
  • 2 \iff 6 \land 7
    • per definizione delle operazioni su righe e colonne, si ha che \textrm{rk}(A) = n \iff A \equiv_R I_n oppure A \equiv_C I_n, poiché rimarranno solamente gli 1 sulla diagonale e tutti gli altri elementi possono diventare 0

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• p_A(x) := \det(x\cdot I_n - A) è detto polinomio caratteristico di A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • p_A(x) = x^n - \textrm{tr}(A)\cdot x^{n -1} + \ldots + (-1)^n \cdot \det(A)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
• Th
  • p_A(x) = p_B(x)

• Autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}
• \lambda è detto autovalore di A \iff p_A(\lambda) = 0

• Spettro

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \textrm{sp}(A) := \{\lambda \in \mathbb{K} \mid p_A(\lambda) = 0\} è detto spettro di A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
• Th
  • \textrm{sp}(A) = \textrm{sp}(B)
• Dim
  • A simile a B \implies p_A(x) = p_B(x), allora \forall \lambda \in \textrm{sp}(A) \quad p_A(\lambda) = p_B(\lambda) = 0 \iff \lambda \in \textrm{sp}(B)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda \in \mathbb{K}
• Th
  • \lambda autovalore \iff \exists v \in \mathbb{K}^n - \{0_{\mathbb{K}^n}\} \mid A \cdot v = \lambda \cdot v
• Dim
  • \exists v \in \mathbb{K}^n - \{0_{\mathbb{K}^n}\} \mid A \cdot v = \lambda \cdot v = \lambda \cdot I_n \cdot v \iff \exists v \in \mathbb{K}^n - \{0_{\mathbb{K}^n}\} \mid (A - \lambda \cdot I_n)\cdot v = 0 \iff v \in \ker(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n}) \iff \ker(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n}) \neq \{0_{\mathbb{K}^n}\} \iff \dim(\ker(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n})) \gt 0
  • per il teorema del rango \textrm{rk}(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n}) = \dim(\mathbb{K}^n) - \dim(\ker(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n})) = n - \dim(\ker(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n})) \lt n, e in particolare \textrm{rk}(\mathscr{L}_{A-\lambda \cdot I_n}) \neq n
  • \textrm{rk}(\mathscr{L}_{A- \lambda \cdot I_n}) \neq n \iff \det(A - \lambda \cdot I_n) = 0 per dimostrazione precedente, e \det(A - \lambda \cdot I_n) := p_A(\lambda) = 0 \iff \lambda autovalore

• Autovettore relativo ad un autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \textrm{sp}(A)
• v \in \mathbb{K}^n - \{0_{\mathbb{K}^n}\}
• v è detto autovettore di A relativo a \lambda \iff (A- \lambda \cdot I_n) \cdot v = 0

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \textrm{sp}(A)
  • v_1, \ldots, v_k autovettori di A relativi rispettivamente a \lambda_1, \ldots, \lambda_k
• Th
  • v_1, \ldots, v_k linearmente indipendenti

• Autospazio relativo ad un autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \textrm{sp}(A)
• \textrm{E}_\lambda(A) := \{v \in \mathbb{K}^n \mid (A - \lambda \cdot I_n) \cdot v = 0\} è detto autospazio di A relativo a \lambda
  • in particolare 0_{\mathbb{K}^n} \in \textrm{E}_\lambda(A), altrimenti non sarebbe sottospazio vettoriale

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda \in \textrm{sp}(A)
• Th
  • \textrm{E}_\lambda(A) \subset \mathbb{K} sottospazio vettoriale

• Molteplicità algebrica di un autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \textrm{sp}(A)
• \mu(\lambda) := \underset{\varepsilon \in \mathbb{N}}{\operatorname{arg\,max}} \ (x - \lambda)^\varepsilon \mid p_A(x) è detta molteplicità algebrica di \lambda

• Molteplicità geometrica di un autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \textrm{sp}(A)
• \nu(\lambda):=\dim(\textrm{E}_\lambda(A)) è detta molteplicità geometrica di \lambda

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
  • \lambda \in \textrm{sp}(A) = \textrm{sp}(B)
• Th
  • \mu_A(\lambda) = \mu_B(\lambda)
  • \nu_A(\lambda) = \nu_B(\lambda)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda \in \textrm{sp}(A)
• Th
  • \nu(\lambda) = n - \textrm{rk}(A - \lambda \cdot I_n)
• Dim
  • \textrm{E}_\lambda(A) := \{v \in \mathbb{K}^n \mid (A - \lambda \cdot I_n) \cdot v = 0\} =: \textrm{E}_\lambda(A) = \ker(\mathscr{L}_{A- \lambda \cdot I_n})
  • allora, per il teorema del rango \textrm{rk}(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n}) = n - \dim(\ker(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n})) \iff \dim(\ker(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n})) = n - \textrm{rk}(\mathscr{L}_{A - \lambda \cdot I_n}) = \dim(\textrm{E}_\lambda(A)) =: \nu(\lambda)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda \in \textrm{sp}(A)
• Th
  • \nu(\lambda) \le \mu(\lambda)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  1. A triangolarizzabile
  2. \displaystyle \sum_{\lambda \in \textrm{sp}(A)}{\mu(\lambda)} = n
  3. \displaystyle p_A(x) = \prod_{\lambda \in \textrm{sp}(A)}{(x - \lambda)}^{\mu(\lambda)}, ovvero p_A(x) è completamente fattorizzabile
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{C})
• Th
  • A è triangolarizzabile
• Dim
  • per dimostrazione precedente A triangolarizzabile \iff \displaystyle p_A(x) = \prod_{\lambda \in \textrm{sp}(A)}{(x - \lambda)}^{\mu(\lambda)}, e per il teorema fondamentale dell’algebra, in \mathbb{C} è sempre possibile fattorizzare un polinomio in polinomi di grado 1 \implies ogni matrice in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{C}) è triangolarizzabile

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R})
• Th
  • A triangolarizzabile \iff \forall \lambda \in \textrm{sp}(A) \quad \lambda \in \mathbb{R}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  1. A diagonalizzabile
  2. \displaystyle \sum_{\lambda \in \textrm{sp}(A)}{\nu(\lambda)} = n
  3. \exists B^1, \ldots, B^n autovettori di A \mid B^1, \ldots, B^n base di \mathbb{K}^n
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • B^1, \ldots, B^n autovettori di A \mid B = (B^1, \ldots, B^n) \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \land B^1, \ldots, B^n base di \mathbb{K}^n
• Th
  • A diagonalizzabile, dove B è la matrice diagonalizzante