Questo è un file che contiene una lista di tutti i teoremi, osservazioni, definizioni, esempi, lemmi, corollari, formule e proposizioni senza alcuna dimostrazione, di conseguenza molte informazioni risulteranno essere senza alcun contesto se già non si conosce la materia. Detto questo, buona lettura.

• Semigruppo

• S insieme
• m: S \times S \rightarrow S
• (S, m) è detto semigruppo \iff \forall x, y, z \in S \quad m(x, m(y, z))=m(m(x, y),z) \quad
  • in particolare, deve valere la proprietà associativa

• Monoide

• S insieme
• m: S \times S \rightarrow S
• (S, m) è detto monoide \iff
  • (S, m) semigruppo
  • \exists e \in S \mid \forall x \in S \quad m(x, e) = m(e, x) = x
    • in particolare, deve esistere l’elemento neutro

• Gruppo

• S insieme
• m: S \times S \rightarrow S
• (S, m) è detto gruppo \iff
  • (S, m) monoide
  • \forall x \in S \quad \exists x^{-1} \in S \mid m(x, x^{-1}) =m(x^{-1}, x) =e
    • in particolare, per ogni elemento deve esistere l’inverso

• Gruppo abeliano

• S insieme
• m: S \times S \rightarrow S
• (S, m) è detto gruppo abeliano \iff
  • (S,m) gruppo
  • \forall x, y \in S \quad m(x, y) = m(y, x)
    • in particolare, deve valere la proprietà commutativa

• Hp
  • G monoide
• Th
  • e \in G elemento neutro è unico in G

• Hp
  • (G, m) gruppo
• Th
  • \forall x \in G \quad x^{-1} è unico in G, rispetto a m

• Hp
  • X, Y insiemi,
  • Y^X := \{f \mid f:X \rightarrow Y\}
• Th
  • (X^X, \circ) è monoide

• Hp
  • X, Y insiemi finiti
• Th
  • \left| Y^X \right| = \left| Y \right| ^ {|X|}

• Anello

• A insieme
• +: A \times A \rightarrow A
• \cdot: A \times A \rightarrow A
• (A, +, \cdot) è detto anello \iff
  • (A, +) gruppo abeliano
  • (A, \cdot) monoide
  • \forall a, b, c \in A \quad a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
    • in particolare, deve valere la proprietà distributiva a destra

• Anello commutativo

• A insieme
• +: A \times A \rightarrow A
• \cdot: A \times A \rightarrow A
• (A, +, \cdot) è detto anello commutativo \iff
  • (A, +, \cdot) anello
  • \forall a, b \in A \quad a \cdot b=b \cdot a
    • in particolare, deve valere la proprietà commutativa

• Campo

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• (A, +, \cdot) è detto campo \iff \forall x \in A - \{0\} \quad \exists x^{-1} \in A rispetto a \cdot

• Semianello commutativo

• A insieme
• +: A \times A \rightarrow A
• \cdot: A \times A \rightarrow A
• (A, +, \cdot) è detto semianello commutativo \iff
  • (A, +) monide commutativo
  • (A, \cdot) monoide commutativo
  • \forall a, b, c \in A \quad a\cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
    • in particolare, deve valere la proprietà distributiva a sinistra

• Invertibili

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• a \in A è detto invertibile \iff \exists a^{-1} \in A \mid a \cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a = e, dove e è l’elemento neutro dell’anello rispetto a \cdot
• A^* := \{a \in A \mid a invertibile\} è detto insieme degli invertibili di A

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello
• Th
  • (A^*, \cdot) è un gruppo

• Divisori dello 0

• (A, + , \cdot) anello commutativo
• a \in A è detto divisore dello 0 \iff \exists b \in A - \{0\} \mid a \cdot b = 0

• Dominio di integrità

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• A è detto dominio di integrità \iff \nexists x \in A - \{0\} : x \mid 0
  • in particolare, A è dominio di integrità \iff in A vale la legge di annullamento del prodotto

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
• Th
  • x \mid 0 \implies x \notin A^*

• Hp
  • A campo
• Th
  • A dominio di integrità

• Elemento irriducibile

• A anello commutativo
• a \in A - \{0\} \mid a \notin A^*
• a è detto irriducibile \iff \exists b, c \in A \mid a = b c \implies b \in A^* \lor c \in A^*

• Elemento primo

• A anello commutativo
• a \in A - \{0\} \mid a \notin A^*
• a è detto primo \iff \exists b, c \in A : a \mid bc \implies a \mid b \lor a \mid c

• Interi primi

• \mathbb{P} := \{p \in \mathbb{N} - \{0, 1\} \mid \nexists y \in \mathbb{N} - \{1, p\} : y \mid p\} è detto insieme degli interi primi
  • si noti che \mathbb{P} non coincide necessariamente con gli elementi primi

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
• Th
  • p primo

• Hp
  • A dominio di integrità
  • a \in A \mid a primo
• Th
  • a irriducibile

• Hp
  • a \in \mathbb{Z}_{\ge 2} \mid a irriducibile
• Th
  • a \in \mathbb{P}

• Sottogruppo

• G insieme
• H \subseteq G
• \cdot: G \times G \rightarrow G
• (G, \cdot) gruppo
• (H, \cdot) \leqslant (G, \cdot) è detto sottogruppo \iff
  • \exists e \in H \mid e è l’elemento neutro di G rispetto a \cdot
  • H \cdot H \subseteq H
    • in particolare, deve essere chiuso sull’operazione
  • \forall x \in H \quad \exists x^{-1} \in H
    • in particolare, deve essere chiuso sugli inversi

• Hp
  • (A, \cdot) gruppo
• Th
  • (A^*, \cdot) \leqslant (A, \cdot)

• Sottoanello

• A insieme
• B \subseteq A
• +: A \times A \rightarrow A
• (A, +, \cdot) anello
• \cdot: A \times A \rightarrow A
• (B, + , \cdot) \leqslant (A, +, \cdot) è detto sottoanello \iff
  • (B, +) \leqslant (A, +)
  • B \cdot B \subseteq B
    • in particolare B \cdot B := \{b_1 \cdot b_2 \mid b_1, b_2 \in B\}

• Sottogruppo normale

• (G, \cdot) gruppo
• (H, \cdot) \leqslant (G, \cdot)
• x \in G
• xH := \{xh \mid h \in H\}
• Hx := \{hx \mid h \in H\}
• H \trianglelefteq G è detto sottogruppo normale \iff \forall x \in G \quad xH = Hx

• Hp
  • G gruppo
  1. H \trianglelefteq G
  2. \forall g \in G, h \in H \quad g \cdot h \cdot g^{-1} \in H
  3. \forall g \in G, h \in H \quad \exists k \in H \mid g \cdot h = k \cdot g
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti

• Ordine di un elemento

• G gruppo
• g \in G
• H(g):=\left\{g^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} è detto sottogruppo ciclico
  • prende il nome di sottogruppo ciclico poiché, a seconda del gruppo, le potenze di g possono essere infinite o finite, ma quest’ultimo caso si verifica esclusivamente quando le potenze ciclano su loro stesse
• o(g):= |H(g)| è detto ordine di g
  • tale valore può dunque essere infinito o finito, e in quest’ultimo caso l’ordine costituisce il valore più piccolo, non nullo, per cui g^{o(g)} = e, poiché per valori maggiori le potenze cicleranno infinitamente

• Hp
  • (G, +) gruppo
  • g \in G
• Th
  • (H(g), +) \leqslant (G, +)

• Hp
  • (G, \cdot) gruppo
  • g \in G
• Th
  • (H(g), \cdot) \leqslant (G, \cdot)

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G
  • I(g):=\{n \in \mathbb{Z} \mid g^n = e\}
• Th
  • I(g) è un ideale

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G
  • \exists! d \in I(g)_{\ge 0} \mid I(g)=I(d)
• Th
  • d = 0 \implies o(g) = |\mathbb{Z}| = + \infty
  • d>0 \implies d = o(g), e questo implica che in I(g) sono presenti tutti i multipli di o(g)

• Hp
  • (G, \cdot) gruppo finito
  • g \in G \mid d := o(g) finito
• Th
  • g^{|G|}=e

• Hp
  • G gruppo finito
  • g \in G
• Th
  • o(g) = o(g^{-1})

• Hp
  • G gruppo finito
  • g \in G
  • k \in \mathbb{Z}
• Th
  • o(g^k) \mid o(g)

• Hp
  • G gruppo finito
  • g, h \in G \mid gh = hg
  • d := \textrm{MCD}(o(g), o(h))
  • m := \textrm{mcm}(o(g), o(h))
• Th
  • \dfrac{m}{d} \mid o(gh) \land o(gh) \mid m

• Hp
  • G gruppo finito
  • g, h \in G \mid gh = hg
  • d := \textrm{MCD}(o(g), o(h)) = 1
  • m := \textrm{mcm}(o(g), o(h))
• Th
  • o(gh) = o(hg) = m

• Gruppo ciclico

• G gruppo
• G è detto ciclico \iff \exists g \in G \mid H(g) = G
  • ovvero, G è l’insieme delle potenze di g

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G \mid o(g) = |G|
• Th
  • G ciclico

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G
• Th
  • H(g) \cong \left \{ \begin{array}{ll} \mathbb{Z} & o(g) = + \infty \\ \mathbb{Z}_d & o(g) = d\end{array} \right.

• Hp
  • G gruppo \big\vert p := |G| \in \mathbb{P}
• Th
  • G \cong \mathbb{Z}_p

• Hp
  • G gruppo ciclico
• Th
  • G \cong \mathbb{Z}_{|G|}

• Ideali

• (A, +, \cdot) anello
• I \subset A è detto ideale \iff
  • (I, +) \leqslant (A, +)
  • A \cdot I \subseteq I
  • I \cdot A \subseteq I

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
  • a \in A
  • I(a) := \{ax \mid x \in A\}
• Th
  • I(a) è un ideale, e prende il nome di ideale di A generato da a

• Hp
  • A dominio di integrità
  • a, b \in A
• Th
  • I(a)=I(b) \iff \exists c \in A^* \mid a = bc

• Hp
  • a, b \in \mathbb{Z} - \{0\}
• Th
  • I(a)=I(b) \iff a=\pm b

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello
  • a_1, \ldots, a_n \in\mathbb{Z}
  • I(a_1, \ldots, a_n) := \{ a_1b_1 + \ldots +a_nb_n \mid b_1, \ldots, b_n \in A\}
• Th
  • I(a_1, \ldots, a_n) è un ideale, e prende il nome di ideale di A generato dagli a_1, \ldots, a_n \in A

• Dominio ad ideali principali

• A dominio di integrità
• A è detto ad ideali principali \iff \forall I \subset A ideale\quad \exists d \in I \mid I = I(d)

• Hp
  • I \subset \mathbb{Z} ideale
• Th
  • \exists d \in I \mid I = I(d), o equivalentemente, in \mathbb{Z} ogni ideale è principale

• Massimo Comun Divisore

• a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb{Z}
• \exists !d \in \mathbb{N} \mid I\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)=I(d), ed è detto massimo comun divisore degli a_1, \ldots, a_n
  • poiché \mathbb{Z} è dominio ad ideali principali, \exists d \in I(a_1, \ldots, a_n) \mid I(a_1, \ldots, a_n) = I(d), poiché I(a_1, \ldots, a_n) è ideale per dimostrazione precedente
  • allora considerando la definizione canonica di d :=\textrm{MCD}(a_1, \ldots, a_n) in cui d \ge0, si ha che d \in \mathbb{N} è unico
  • in particolare, d \in \mathbb{Z} non è unico poiché I(d) = I(-d)

• Hp
  • a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}
  • \exists ! d \in \mathbb{N} \mid I(d) = I(a_1, \ldots, a_n)
• Th
  • d = \textrm{MCD}(a_1, \ldots, a_n)

• Hp
  • a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}
  • d := \textrm{MCD}(a_1, \ldots, a_n)
• Th
  • \exists x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{Z} \mid a_1 x_1 + \ldots + a_nx_n=d, che prende il nome di identità di Bézout

• + tra ideali

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• I, J \subset A ideali
• I + J = \{i + j \mid i \in I, j \in J\} è detta somma tra I e J

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
  • I, J \subset A ideali
• Th
  • I + J è un ideale

• \cap tra ideali

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• I, J \subset A ideali
• I \cap J = \{x \mid x \in I \land x \in J\} è detta intersezione tra I e J

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
  • I, J \subset A ideali
• Th
  • I \cap J è un ideale

• Minimo Comune Multiplo

• a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{Z}
• \displaystyle \exists ! m \in \mathbb{N} \mid I(m) = I(a_1) \cap \ldots \cap I(a_n) = \bigcap_{i=1}^{n}{I(a_i)}, ed è detto minimo comune multiplo degli a_1, \ldots, a_n
  • poiché \mathbb{Z} è dominio ad ideali principali, \exists m \in \displaystyle \bigcap_{i = 1}^n{I(a_i)} \mid \bigcap_{i = 1}^n{I(a_i)} = I(m), poiché \displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}{I(a_i)} è ideale per dimostrazione precedente
  • allora considerando la definizione canonica di m :=\textrm{mcm}(a_1, \ldots, a_n) in cui m \ge0, si ha che m \in \mathbb{N} è unico
  • in particolare, m \in \mathbb{Z} non è unico poiché I(m) = I(-m)

• Hp
  • a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}
  • \exists ! m \in \mathbb{N} \mid I(m) = \displaystyle \bigcap_{i=1}^n{I(a_i)}
• Th
  • m = \textrm{mcm}(a_1, \ldots, a_n)

• Hp
  • a, b \in \mathbb{Z}
  • d := \textrm{MCD}(a, b)
  • m := \textrm{mcm}(a, b)
  • x_0, y_0 \in \mathbb{Z} \mid d = a x_0 + b y_0, dunque x_0, y_0 soddisfano l’equazione di Bézout
• Th
  • ax + by = d \iff \left \{ \begin{array}{l}x = x_0 + \dfrac{m}{a}k \\ \\ y = y_0 - \dfrac{m}{b}k\end{array}\right. \forall k \in \mathbb{Z}

• \cdot tra ideali

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• I, J \subset A ideali
• I \cdot J = \{i_1 j_1 + \ldots + i_k j_k \mid k \ge 1, i_1 , \ldots , i_k \in I, j_1 , \ldots , j_k \in J \} è detto prodotto tra I e J

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
  • I, J \subset A ideali
• Th
  • I \cdot J è un ideale

• Hp
  • a, b \in \mathbb{Z}
  • d:= \textrm{MCD}(a, b)
• Th
  • I(a) + I(b) = I(d)

• Hp
  • a, b \in \mathbb{Z}
• Th
  • I(a) \cdot I(b)=I(a \cdot b)

• Relazioni

• S insieme
• R \subseteq S \times S è detta relazione su S

• Relazione riflessiva

• S insieme
• R \subseteq S \times S relazione su S
• R è detta riflessiva \iff \forall x \in S \quad (x, x) \in R

• Relazione simmetrica

• S insieme
• R \subseteq S \times S relazione su S
• R è detta simmetrica \iff \forall x, y \in S \quad (x, y) \in R \implies (y, x) \in R

• Relazione transitiva

• S insieme
• R \subseteq S \times S relazione su S
• R è detta transitiva \iff \forall x, y, z \in S \quad (x, y), (y, z) \in R \implies (x, z) \in R

• Relazione antisimmetrica

• S insieme
• R \subseteq S \times S relazione su S
• R è detta antisimmetrica \iff \forall x, y \in S \quad (x, y), (y, x) \in R \implies x = y

• Relazione totale

• S insieme
• R \subseteq S \times S relazione su S
• R è detta totale \iff \forall x, y \in S \quad (x, y) \in R \lor (y, x) \in R

• Relazione di equivalenza

• S insieme
• R \subseteq S \times S relazione su S
• R è detta relazione di equivalenza \iff R riflessiva, simmetrica e transitiva

• Ordine parziale

• S insieme
• R \subseteq S \times S relazione su S
• R è detto ordine parziale \iff R riflessiva, transitiva e antisimmetrica

• Ordine totale

• S insieme
• R \subseteq S \times S relazione su S
• R è detto ordine totale \iff R ordine parziale in cui vale la totalità

• Hp
  • m, n \in \mathbb{N}
  • m \mid n \iff \exists p \in \mathbb{N} \mid mp = n
• Th
  • \mid è ordine parziale

• Hp
  • a, b \in \mathbb{Z}
  • n \in \mathbb{Z}
  • a \equiv b \ (\bmod \ n) \iff m \mid b-a è detta congruenza modulo n
• Th
  • \equiv è una relazione di equivalenza

• Hp
  • x, y \in \mathbb{Z} \mid x \equiv y \ (\bmod \ n)
  • d \in \mathbb{Z} : d\mid n
• Th
  • x \equiv y \ (\bmod \ d)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • [a], [b] \in \mathbb{Z}_n
  • d:= \textrm{MCD}(a, n)
• Th
  • d \nmid b \implies \nexists [x] \in \mathbb{Z}_n \mid ax \equiv b \ (\bmod \ n)
  • d \mid b \implies \forall [x] \in \mathbb{Z}_n \mid ax \equiv b \ (\bmod \ n) \quad x è anche tale che \dfrac{a}{d}x \equiv \dfrac{b}{d} \ \left(\bmod \ \dfrac{n}{d}\right)

• Hp
  • G gruppo
  • g, h \in G
  • g \sim h \iff \exists a \in G \mid h = a\cdot g \cdot a^{-1} è detta relazione di coniugio
• Th
  • \sim è una relazione di equivalenza

• Partizione

• X insieme
• I insieme di indici
• \forall i \in I \quad X_i \subset X
• \displaystyle X = \bigsqcup_{i \in I}X_i è detta partizione di X
  • in particolare \forall i, j \in I \quad \left \{ \begin{array}{ll} X_i = X_j && i = j \\ X_i \cap X_j = \varnothing && i \neq j \end{array}\right.

• Hp
  • X insieme
• Th
  • \forall x, y \in X \quad \left \{ \begin{array}{ll}x \nsim y \iff [x] \cap [y] = \varnothing \\ x \sim y \iff [x] = [y]\end{array}\right., ovvero \sim induce una partizione
  • in particolare \displaystyle X = \bigsqcup_{[x] \in X/\sim}[x]

• Hp
  • X insieme
  • I insieme di indici
  • \displaystyle X = \bigsqcup_{i \in I}X_i partizione di X
• Th
  • una partizione induce una relazione di equivalenza, dove x \sim y \iff \exists i \in I \mid x, y \in X_i

• Hp
  • G gruppo
  • H \leqslant G
  • x, y \in G
• Th
  • x \sim_S y \iff x^{-1}y \in H è una relazione di equivalenza

• Classi laterali su gruppi

• G gruppo
• H \leqslant G
• x \in G
• [x] = \{y \in G \mid y \sim_S x\} è detta classe laterale sinistra
• [x] = \{y \in G \mid y \sim_D x\} è detta classe laterale destra
• G/H := \{[x] \mid x \in G\} è l’insieme delle classi laterali sinistre o destre
  • G/H è un simbolismo ambiguo, poiché in base al contesto può voler significare l’insieme delle classi laterali sinistre o destre, ma all’interno di questi appunti, a meno di specifica, saranno sottointese le classi laterali sinistre
  • si noti che con x^{-1} si intende l’inverso rispetto all’operazione considerata

• Hp
  • G gruppo
  • H \leqslant G
• Th
  • H = [1] \in G/H

• Hp
  • G gruppo
  • H \leqslant G
  • x \in G
  • [x] := \{y \in G \mid y \sim_S x\}
  • xH:= \{ xh \mid h \in H\}
• Th
  • xH = [x]

• Hp
  • G gruppo
  • H \leqslant G
  • x \in G
  • [x] := \{y \in G \mid y \sim_D x\}
  • Hx := \{hx \mid h \in H\}
• Th
  • Hx = [x]

• Hp
  • G gruppo
  • H \leqslant G
  • x \in G
• Th
  • |H| = |xH|

• Hp
  • (G, +) gruppo abeliano
  • H \leqslant G
• Th
  • (G/H, +) è gruppo abeliano

• Hp
  • (G, \cdot) gruppo
  • H \trianglelefteq G
• Th
  • (G/H, \cdot) è gruppo

• Classi laterali su anelli

• (A, +, \cdot) anello
• I \subset A ideale
• [x] = \{y \in A \mid y \sim_S x\} è detta classe laterale sinistra
• [x] = \{y \in A \mid y \sim_D x\} è detta classe laterale destra
• A/I := \{[x] \mid x \in A\} è l’insieme delle classi laterali sinistre o destre
  • \sim_S e \sim_D sono dette anche congruenza modulo I, e dunque \forall a,b \in A \quad a \equiv b \ (\bmod \ I) \iff b - a \in I

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
  • I \subset A ideale
• Th
  • (A/I, +, \cdot) è anello commutativo

• Insieme quoziente

• G gruppo
• \sim relazione di equivalenza in G
• x \in G
• [x]:=\{y \in G \mid x \sim y\}
• G/\sim := \{[x] \mid x \in G\} è detto insieme quoziente
  • corrisponde all’insieme delle classi di equivalenza determinate da \sim

• Insieme quoziente \mathbb{Z}_n

• n \in \mathbb{Z}
• \mathbb{Z}_n := \mathbb{Z} / \equiv è detto insieme quoziente \mathbb{Z}_n

• Hp
  • n \in \mathbb{Z}
  • I(n) := \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\}
• Th
  • \mathbb{Z}_n = \{[0], [1], \ldots, [n - 1]\}

• Hp
  • n \in \mathbb{Z}
• Th
  • \mathbb{Z}_n dominio di integrità \iff n \in \mathbb{P}

• Hp
  • n \in \mathbb{Z}
  • [a] \in \mathbb{Z}_n \quad
• Th
  • [a] \in \mathbb{Z}^*_n \iff \textrm{MCD}(a, n) = 1

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
• Th
  • \mathbb{Z}_p campo

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
• Th
  • (\mathbb{Z}_p, \cdot) ciclico

• Funzione totiente di Eulero

• \varphi(n) : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}: n \rightarrow |\mathbb{Z}_n^* | è detta funzione totiente di Eulero

• Hp
  • m, n \in \mathbb{N} \mid \textrm{MCD}(m, n) = 1
• Th
  • \varphi(m \cdot n) = \varphi(m) \cdot \varphi(n)

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
  • k \in \mathbb{N} - \{0\}
• Th
  • \varphi(p^k) = p^{k -1}(p-1)

• Hp
  • k \in \mathbb{N} - \{0\}
  • p_1, \ldots, p_k \in \mathbb{P}
  • i_1, \ldots, i_k \in \mathbb{Z}_{\ge 1}
  • n \in \mathbb{N} \mid n = p_1^{i_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{i_k}
• Th
  • \displaystyle\varphi(n)=n \cdot \prod_{p \mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)

• Permutazioni

• X insieme
• \mathcal{S}_X := \{f \mid f:X \rightarrow X biettiva\} è l’insieme delle permutazioni di X
  • in particolare, una permutazione è una biezione X \rightarrow X
  • inoltre, si ha che |\mathcal{S}_X| = |X|!

• Hp
  • f funzione
• Th
  • f biettiva \iff f invertibile

• Hp
  • \mathcal{S}_X := \{f \mid f : X \rightarrow X biettiva\}
• Th
  • (\mathcal{S}_X, \circ) è un gruppo, non abeliano se |X| \ge 3

• Gruppo simmetrico

• n \in \mathbb{N} - \{0\}
• X = \{1, \ldots, n\}
• \mathcal{S}_n := \{f \mid f: X \rightarrow X biettiva\} è detto gruppo simmetrico di n
  • inoltre, si ha che |\mathcal{S}_n| = n!

• Ciclo di una permutazione

• n \in \mathbb{N}
• \sigma \in \mathcal{S}_n
• i_1, \ldots, i_d \in \mathbb{N} \mid 1 \leq i_1, \ldots, i_d \leq n
• (i_1, \ldots, i_d) è detto ciclo di \sigma \iff \left\{\begin{array}{c}\sigma\left(i_{1}\right)=i_{2} \\\sigma\left(i_{2}\right)=i_{3} \\\vdots \\\sigma\left(i_{d-1}\right)=i_{d} \\\sigma\left(i_{d}\right)=i_{1}\end{array}\right.
  • d è detta lunghezza del ciclo i_1, \ldots, i_d
  • in generale, è possibile scomporre \sigma = \gamma_1, \ldots, \gamma_k, dove ogni \gamma_i è un ciclo di \sigma

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n
  • i \in \mathbb{N} \mid 1 \le i \le n
  • I(\sigma, i):=\left\{n \in \mathbb{Z} \mid \sigma^{n}(i)=i\right\}
• Th
  • (I(\sigma, i), +) \subset (\mathbb{Z}, +) ideale

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma = \gamma_1 \ldots \gamma_k sia la sua decomposizione in cicli
  • i \in \gamma_j
  • \exists d \in I(\sigma, i) \mid I(\sigma, i) = I(d)
• Th
  • d è la lunghezza di \gamma_j

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma = \gamma_1 \ldots \gamma_k sia la sua decomposizione in cicli
  • \forall j \in [1, k] \quad d_j:= lunghezza di \gamma_j
  • m := \textrm{mcm}(d_1, \ldots, d_k)
  • I(\sigma):=\left\{n \in \mathbb{Z} \mid \sigma^{n}=\textrm{id}\right\}
• Th
  • o(\sigma) = m

• Trasposizione

• n \in \mathbb{N}
• i, j \in [1, n] \mid i \neq j
• \tau_{i, j} \in \mathcal{S}_n
• \tau_{i, j} è detta trasposizione \iff \forall k \in [1,n] \quad \tau_{i, j}(k) =\left\{\begin{array}{ll}j & k=i \\ i & k=j \\ k & k \neq i, j\end{array}\right.
  • in particolare, una trasposizione è una permutazione che inverte esclusivamente due elementi
  • inoltre, si ha che \tau_{i, j}^2 = \textrm{id} \iff \tau_{i, j} = \tau_{i, j} ^{-1}

• Trasposizione adiacente

• n \in \mathbb{N}
• i, j \in [1, n] \mid i \neq j
• \tau_{i, j} \in \mathcal{S}_n trasposizione
• \tau_{i, j} è detta trasposizione adiacente \iff j = i + 1
  • in particolare, sono trasposizioni della forma \tau_{i, i + 1}, e sono dette adiacenti poiché invertono esclusivamente due elementi adiacenti

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n
• Th
  • \exists 1 \leq i_1, \ldots, i_k \le n \mid \sigma = \tau_{i_1, i_1 + 1} \ldots \tau_{i_k, i_k + 1}, dunque ogni permutazione può essere ottenuta come composizione di trasposizioni adiacenti

• Segno di una permutazione

• n \in \mathbb{N}
• \sigma \in \mathcal{S}_n
• \textrm{Inv}(\sigma) := \{ (i, j) \mid 1 \leq i \lt j \le n : \sigma(i) \gt \sigma(j)\} è detto insieme delle inversioni di \sigma
• \textrm{sgn}(\sigma) := (-1)^{|\textrm{Inv}(\sigma)|} =\left\{\begin{array}{ll}+1 & |\operatorname{Inv}(\sigma)| \equiv 0 \ (\bmod \ 2) \\ -1 & |\operatorname{Inv}(\sigma)| \equiv 1 \ (\bmod \ 2)\end{array}\right.
  • in particolare \sigma è detta pari \iff \textrm{sgn}(\sigma) = +1, e vivecersa

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \alpha, \beta \in \mathcal{S}_n \mid \textrm{sgn}(\alpha) \cdot \textrm{sgn}(\beta) = 1
• Th
  • \textrm{sgn}(\alpha)= \textrm{sgn}(\beta)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma=\tau_{1} \ldots \tau_{k} dove \forall j \in [1, k] \quad \tau_{j} = \tau_{j, j + 1}, dunque tutte le trasposizioni sono adiacenti
• Th
  • \textrm{sgn}(\sigma)= (-1)^k

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma, \sigma^{\prime} \in \mathcal{S}_n | \left\{\begin{array}{l}\sigma = \tau_1 \ldots \tau_k \\ \sigma ' = \tau_1^{\prime} \ldots \tau_h^{\prime}\end{array}\right., dove ogni trasposizione è adiacente
• Th
  • \operatorname{sgn}\left(\sigma \sigma^{\prime}\right)=\operatorname{sgn}(\sigma)\cdot \textrm{sgn}(\sigma ')

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n
• Th
  • \textrm{sgn}(\sigma^{-1})=\textrm{sgn}(\sigma)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma, \sigma^\prime \in \mathcal{S}_n
  • \sigma \sim \sigma ^\prime \iff \exists\alpha \in \mathcal{S}_n \mid \sigma^\prime = \alpha \sigma \alpha^{-1}
• Th
  • \textrm{sgn}(\sigma^\prime) = \textrm{sgn}(\sigma)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma, \sigma^\prime \in \mathcal{S}_n \mid \left \{ \begin{array}{l} \sigma := \gamma_1 \ldots \gamma_k \\ \sigma^\prime := \gamma_1^\prime \ldots \gamma_h^\prime \end{array} \right. siano le loro decomposizioni in cicli
  • \sigma \sim \sigma ^\prime \iff \exists\alpha \in \mathcal{S}_n \mid \sigma^\prime = \alpha \sigma \alpha^{-1}, che costituisce dunque la relazione di coniugio
• Th
  • \sigma \sim \sigma ^\prime \iff\left\{\begin{array}{c}k=h \\ d_1=d_{1}^{\prime} \\ \vdots \\ d_{k}=d_{h}^{\prime}\end{array}\right., dove d_j è la lunghezza del ciclo \gamma_j e d_j^\prime è la lunghezza del ciclo \gamma_j^\prime

• Gruppo alterno

• n \in \mathbb{N}
• \mathcal{A}_n := \{\sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma pari\} è detto gruppo alterno di ordine n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • \mathcal{A}_n \trianglelefteq \mathcal{S}_n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • |\mathcal{A}_n| = \dfrac{n!}{2}

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma := \gamma_1 \ldots \gamma_k sia la sua decomposizione in cicli
• Th
  • \textrm{sgn}(\sigma)=(-1)^{n - k}

• Morfismo di gruppi

• (G, \cdot), (H, \cdot) gruppi
• f: G \rightarrow H
• f è detto morfismo di gruppi \iff \forall x, y \in G \quad f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)

• Morfismo di anelli

• (A, +, \cdot), (B, +, \cdot) anelli
• f: A \rightarrow B
• f è detto morfismo di anelli \iff
  • \forall x, y \in A \quad f(x+ y) = f(x) + f(y)
  • \forall x, y \in A \quad f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)

• Hp
  • (G, \cdot), (H, \cdot) gruppi
  • 1_G neutro per G
  • 1_H neutro per H
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • f(1_G) = 1_H

• Hp
  • (G, \cdot), (H, \cdot) gruppi
  • 1_G neutro per G
  • 1_H neutro per H
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • f(g^{-1}) = f(g)^{-1}

• Isomorfismo

• f è detto isomorfismo \iff f morfismo biettivo

• Hp
  • (G, \cdot), (H, \cdot) gruppi
  • f: G \rightarrow H isomorfismo
• Th
  • f ^{-1}: H \rightarrow G isomorfismo

• Hp
  • \cong è la relazione di isomorfismo
• Th
  • \cong è una relazione di equivalenza

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \zeta := e^{i \frac{2 \pi}{n}}
  • H := \{\zeta ^0, \zeta^1, \zeta^k, \ldots, \zeta^{n-1}\} è l’insieme delle radici n-esime di 1, in particolare \zeta^n=1
• Th
  • (H, \cdot) \leqslant (\mathbb{C}^*, \cdot)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \zeta := e^{i \frac{2 \pi}{n}}
  • H := \{\zeta ^0, \zeta^1, \zeta^k, \ldots, \zeta^{n-1}\} è l’insieme delle radici n-esime di 1, in particolare \zeta^n = 1
  • f: \mathbb{Z}_n \rightarrow H : [k] \rightarrow \zeta^k
• Th
  • f isomorfismo di gruppi tra (\mathbb{Z}_n , +) e (H, \cdot)

• Hp
  • f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n : k \rightarrow [k]
• Th
  • f morfismo di anelli tra \left(\mathbb{Z},+, \cdot\right) e \left(\mathbb{Z}_{n},+, \cdot\right)

• Hp
  • n, m \in \mathbb{Z} : n \mid m
  • f : \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_n: x \ (\bmod \ m) \rightarrow x \ (\bmod\ n)
• Th
  • f morfismo di anelli tra \left(\mathbb{Z}_{m},+, \cdot\right) e \left(\mathbb{Z}_{n},+, \cdot\right)

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G
  • f: G \rightarrow G : h \rightarrow ghg^{-1}
• Th
  • f morfismo di gruppi tra (G, \cdot) e (G, \cdot)

• Kernel e immagine di gruppi

• G, H gruppi
• f: G \rightarrow H morfismo
• \textrm{ker}(f):=\{g \in G \mid f(g) = 1_H\} è detto kernel/nucleo di f
• \textrm{im}(f):=\{h \in H \mid \exists g \in G : f(g) = h\} è detta immagine di f

• Hp
  • G, H gruppi
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • \ker(f) \trianglelefteq G

• Hp
  • G, H gruppi
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • \textrm{im}(f) \leqslant H

• Hp
  • G, H gruppi
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • f iniettiva \iff \textrm{ker}(f) = \{1_G\}

• Kernel e immagine di anelli

• A, B anelli
• f: A \rightarrow B morfismo
• \textrm{ker}(f):=\{a \in A \mid f(a)= 0_B\} è detto kernel/nucleo di f
• \textrm{im}(f):=\{b \in B \mid \exists a \in A : f(a) = b\} è detto immagine di f

• Hp
  • A, B anelli
  • f: A \rightarrow B morfismo di anelli
• Th
  • \textrm{ker}(f) \subset A ideale

• Hp
  • A, B anelli
  • f: A \rightarrow B morfismo di anelli
• Th
  • \textrm{im}(f) \subset B sottoanello

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \zeta := e^{i \frac{2 \pi}{n}}
  • H := \{\zeta ^0, \zeta^1, \zeta^k, \ldots, \zeta^{n-1}\} è l’insieme delle radici n-esime di 1, in particolare \zeta ^n = 1
  • H(\zeta) := \{\zeta^k \mid k \in \mathbb{Z}\}
• Th
  • H(\zeta) \cong \mathbb{Z}_n

• Gruppo diedrale

• n \in \mathbb{N}_{\ge 2}
• \mathcal{D}_n è l’insieme delle simmetrie dell’n-gono regolare, ed è detto gruppo diedrale di ordine n
  • è formato dall’insieme delle rotazioni che lasciano l’n-gono invariato, e delle riflessioni rispetto agli assi di simmetria
• \rho := rotazione di \frac{360°}{n} gradi di un n-gono regolare
• \sigma_i := riflessione rispetto all’i-esimo asse di simmetria dell’n-gono regolare

• Hp
  • n \in \mathbb{N}_{\ge 2}
  • \mathcal{D}_n insieme delle simmetrie dell’n-gono regolare
• Th
  • |\mathcal{D}_n| = 2n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}_{\ge 2}
  • \mathcal{D}_n insieme delle simmetrie dell’n-gono regolare
  • \cdot è l’operazione di composizione delle simmetrie
• Th
  • (\mathcal{D}_n, \cdot) è un gruppo

• Hp
  • \mathcal{D}_2 gruppo diedrale
• Th
  • (\mathcal{D}_2, \cdot) è l’unico gruppo diedrale abeliano

• Hp
  • \mathcal{D}_n gruppo diedrale
• Th
  • \mathcal{D}_n \hookrightarrow \mathcal{S}_n
  • \exists \mathcal{X} \leqslant \mathcal{S}_n \mid \mathcal{D}_n \cong \mathcal{X}, e in particolare \mathcal{D}_3 \cong \mathcal{S}_3

• Gruppo di Klein

• a, b, c \mid \left \{ \begin{array}{l} a^2=b^2=c^2=1 \\ ab=c=ba \\ ac=b=ca \\ cb=a=bc \end{array} \right.
• \mathcal{K}_4 := \{1, a, b, c\} è detto gruppo di Klein
  • in particolare \left \{ \begin{array}{l} o(1) = 1 \\ o(a) = o(b) = o(c) = 2 \end{array} \right .
  • in particolare, presi 3 elementi in \mathcal{K}_4 - \{1\}, moltiplicandone due tra loro si ottiene il terzo

• Hp
  • \mathcal{K}_4 è il gruppo di Klein
• Th
  • \mathcal{K}_4 \cong \mathcal{D}_2

• Hp
  • G gruppo \bigg\vert |G|=4
• Th
  • G \cong \mathbb{Z}_4 \lor G \cong \mathcal{K}_4

• Hp
  • G gruppo \bigg\vert |G| = 6
• Th
  • G \cong \mathbb{Z}_6 \lor G \cong \mathcal{S}_3

• Polinomio

• \mathbb{K} campo
• a(x) := \displaystyle{\sum_{k = 0}^na_kx^k} = a_0x^0 + \ldots + a_nx^n è detto polinomio
  • a_n è detto coefficiente direttore
• \mathbb{K}[x] := \{a_0x^0 + \ldots + a_n x^n \mid a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{K}\} è l’insieme dei polinomi a coefficienti in \mathbb{K}

• Polinomio monico

• \mathbb{K} campo
• p(x) = a_0x^0 + \ldots + a_nx^n \in \mathbb{K}[x]
• p(x) è detto polinomio monico \iff a_n = 1

• Hp
  • (\mathbb{K}, +, \cdot) anello commutativo
  • +, \cdot : \mathbb{K}[x] \times \mathbb{K}[x] \rightarrow \mathbb{K}[x]
• Th
  • (\mathbb{K}[x], +, \cdot) anello commutativo

• Grado di un polinomio

• \mathbb{K} campo
• a(x) = a_0x^0 + \ldots + a_nx^n \in \mathbb{K}[x]
• \deg(a(x)):=\left\{\begin{array}{ll} n & a(x) \neq 0 \\ - \infty & a(x) = 0\end{array}\right. è detto grado di a(x)

• Polinomio costante

• \mathbb{K} campo
• p(x) \in \mathbb{K}[x] è detto polinomio costante \iff \deg(p(x)) = 0

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • a(x), b(x) \in \mathbb{K}[x]
• Th
  • \deg(a(x) \cdot b(x)) = \deg(a(x)) + \deg(b(x))

• Hp
  • \mathbb{K} campo
• Th
  • \mathbb{K}[x]^* = \mathbb{K}^* \subset \mathbb{K} \subset \mathbb{K}[x]

• Hp
  • \mathbb{K} campo
• Th
  • \mathbb{K}[x] dominio di integrità

• Radici di un polinomio

• \mathbb{K} campo
• p(x) \in \mathbb{K}[x]
• c \in \mathbb{K} \mid p(c) = 0 è detta radice di p(x)
  • in particolare \{c \in \mathbb{K} \mid p(c) = 0\} è l’insieme delle radici di p(x)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • p(x) \in \mathbb{K}[x]
  • c \in \mathbb{K}
• Th
  • p(c) = 0 \iff (x - c) \mid p(x)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • p(x) \in \mathbb{K}[x]
  • n := \deg(p(x))
• Th
  • |\{c \in \mathbb{K} \mid p(c) = 0\}| \le n

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • I \subset \mathbb{K}[x] ideale
• Th
  • \exists p(x) \in I \mid I = I(p(x)), o equivalentemente, in \mathbb{K}[x] ogni ideale è principale

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • a_1(x), \ldots, a_n(x) \in \mathbb{K}[x]
  • \exists d(x) \in I(a_1(x), \ldots, a_n(x)) \mid I(a_1(x), \ldots, a_n(x)) = I(d(x))
• Th
  • d(x)=\textrm{MCD}(a_1(x), \ldots, a_n(x))

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • a_1(x), \ldots, a_n(x) \in \mathbb{K}[x]
  • \exists m(x) \in I(a_1(x)) \cap \ldots \cap I(a_n(x)) \mid I(a_1(x)) \cap \ldots \cap I(a_1(x)) = I(m(x))
• Th
  • m(x)=\textrm{mcm}(a_1(x), \ldots, a_n(x))

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • a_1(x), \ldots ,a_n(x) \in \mathbb{K}[x]
  • c \in \mathbb{K}
  • d(x):= \textrm{MCD}(a_1(x), \ldots, a_n(x))
• Th
  • a_1(c) = \ldots = a_n(c) = 0 \iff d(c) = 0

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • p(x) \in \mathbb{K}[x]
• Th
  • p(x) irriducibile \iff p(x) primo

• Hp
  • p(x) \in \mathbb{C}[x]
• Th
  • p(x) irriducibile \iff \deg(p(x)) = 1

• Hp
  • p(x) \in \mathbb{R}[x]
• Th
  • p(x) irriducibile \iff \deg(p(x)) = 1 \lor \left \{ \begin{array}{l} \deg(p(x)) = 2 \\ \Delta \lt 0 \end{array} \right., dove p(x) = ax^2 + bx + c \implies \Delta := b^2 - 4ac

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • p(x) \in \mathbb{K}[x] - \{0\}
• Th
  • \exists ! q_1(x), \ldots ,q_k(x) \in \mathbb{K}[x] irriducibili e monici, c \in \mathbb{K}^* \mid p(x) = c \cdot q_1(x) \cdot \ldots \cdot q_k(x)
    • in particolare, i polinomi sono unici a meno di riordinamento

• Hp
  • a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z} \mid a_0, a_n \neq 0
  • p(x) \in \mathbb{Z}[x] \mid p(x) = a_0 + \ldots + a_nx^n
  • a, b \in \mathbb{Z} \mid \textrm{MCD}(a, b) = 1
  • p\left(\frac{a}{b}\right) = 0
• Th
  • a \mid a_0 \land b \mid a_n

• Spazio vettoriale

• V insieme
• \mathbb{K} campo
• +: V \times V \rightarrow V
• \cdot : \mathbb{K} \times V \rightarrow V
• V è detto spazio vettoriale su \mathbb{K} \iff
  • (V, +) gruppo abeliano
  • \exists 1 \in \mathbb{K} \mid \forall v \in V \quad 1v = v
    • in particolare, deve esistere l’elemento neutro per il prodotto per scalare
  • \forall u, v \in V, k \in \mathbb{K} \quad k(u + v) = ku + kv
    • in particolare, deve valere la proprietà distributiva a destra del prodotto per scalare
  • \forall v \in V, k, h \in \mathbb{K} \quad (k + h)v = kv + hv
    • in particolare, deve valere la proprietà distributiva a sinistra del prodotto per scalare
  • \forall v \in V, k, h \in \mathbb{K} \quad (kh)v = k(hv)
    • in particolare, deve valere la proprietà associativa del prodotto per scalare
• x \in \mathbb{K} è detto scalare
• x \in V è detto vettore

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \mathbb{K} campo
• Th
  • \mathbb{K}^n spazio vettoriale su \mathbb{K}, ed è detto spazio di coordinate

• Sottospazio vettoriale

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• W \subseteq V
• W \subset V è detto sottospazio vettoriale di V \iff
  • (W, +) \leqslant (V, +)
  • \mathbb{K} \cdot W \subseteq W

• Span di vettori

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n \in V
• \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) := \{\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n \mid \lambda_1, \ldots , \lambda_n \in \mathbb{K}\} è detto span degli v_1, \ldots v_n
  • in particolare, costituisce l’insieme delle combinazioni lineari degli v_1, \ldots, v_n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \mathbb{K} campo
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • v_1, \ldots, v_n \in V
• Th
  • \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) \subset V sottospazio vettoriale

• Generatori di uno spazio vettoriale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n \in V
• v_1, \ldots, v_n sono detti generatori di V \iff V \subseteq \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n)
  • equivalentemente, ogni vettore in V è una combinazione lineare degli v_1, \ldots, v_n
  • si noti che è sempre vero che \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) \subseteq V, di conseguenza è possibile considerare nella definizione \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) = V senza perdita di generalità

• Indipendenza lineare

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n \in V - \{0_V\}
• v_1, \ldots, v_n sono detti linearmente indipendenti \iff
  • \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n = 0_V \iff \lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0_{\mathbb{K}}
  • equivalentemente, nessuno degli v_1, \ldots, v_n è combinazione lineare degli altri
  • si noti che il secondo verso dell’implicazione è sempre verificato

• Base di uno spazio vettoriale

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n \in V - \{0_V\}
• v_1, \ldots, v_n costituiscono una base di V \iff v_1, \ldots, v_n linearmente indipendenti e generatori di V
  • in particolare, n è detta cardinalità della base v_1, \ldots, v_n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \mathbb{K} campo
  • \left \{ \begin{array}{c} e_1 := (1, 0, \ldots, 0) \\ \vdots \\e_n :=(0, \ldots, 0, 1) \end{array} \right. \in \mathbb{K}^n
• Th
  • e_1, \ldots, e_n sono una base di \mathbb{K}^n, ed è detta base canonica

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • v_1, \ldots, v_n \in V - \{0_V\}
• Th
  • v_1, \ldots, v_n linearmente indipendenti \iff v_1, \ldots, v_{n - 1} linearmente indipendenti \land v_n \notin \textrm{span}(v_1, \ldots, v_{n - 1})

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n, k \in \mathbb{N}
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • w_1, \ldots, w_n \in V
  • v_1, \ldots, v_k \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) \mid v_1, \ldots, v_k linearmente indipendenti
• Th
  • k \le n

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n, m \in \mathbb{N}
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • w_1, \ldots, w_m \in V \mid w_1, \ldots, w_m base di V
  • v_1, \ldots, v_n \in V \mid v_1, \ldots, v_n base di V
• Th
  • n = m, il che implica che la cardinalità delle basi di uno spazio vettoriale è unica

• Dimensione di uno spazio vettoriale

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n base di V
• \dim(V) = n è detta dimensione di V
  • in particolare, coincide con la cardinalità delle basi di V, che per dimostrazione precedente è unica
• V si dice avere dimensione infinita \iff non esiste un insieme finito di generatori in V

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • \mathbb{K}[x]_{\le n} := \{p(x) \in \mathbb{K}[x] \mid \deg(p(x)) \le n\}
• Th
  • \mathbb{K}[x]_{\le n} spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • \dim(\mathbb{K}[x]_{\le n}) = n + 1

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • v_1, \ldots, v_n \in V
• Th
  • v_1, \ldots, v_n base di V \iff \forall v \in V \quad \exists ! \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid v = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • W spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • n:= \dim(W)
  • k \in \mathbb{N} \mid k \lt n
  • w_1, \ldots, w_k \in W linearmente indipendenti
• Th
  • \exists w_{k + 1}, \ldots, w_n \in W \mid w_1, \ldots, w_n base di W

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • W spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • n := \dim(W)
  • m \in \mathbb{N} \mid m \ge n
  • w_1, \ldots, w_m \in W \mid w_1, \ldots, w_m generatori di W
• Th
  • \exists 1 \le i_1, \ldots, i_n \le m \mid w_{i_1}, \ldots, w_{i_n} base di W

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • W spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • n:= \dim(W)
  • w_1, \ldots, w_n \in W
• Th
  • w_1, \ldots, w_n linearmente indipendenti \iff w_1, \ldots, w_n generatori di W

• + tra spazi vettoriali

• \mathbb{K} campo
• U, V spazi vettoriali su \mathbb{K}
• U + V := \{u + v \mid u \in U, v \in V\} è detta somma tra U e V

• \cap tra spazi vettoriali

• \mathbb{K} campo
• U, V spazi vettoriali su \mathbb{K}
• U \cap V := \{w \mid w \in U \land w \in V\} è detta intersezione tra U e V

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • W spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • U, V \subset W sottospazi vettoriali
• Th
  • \dim(U + V) = \dim(U) + \dim(V) - \dim(U \cap V)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • W \subset V sottospazio vettoriale
• Th
  • V/W spazio vettoriale su \mathbb{K}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • W \subset V sottospazio vettoriale
• Th
  • \dim(V/W) = \dim(V) - \dim(W)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • k \in \mathbb{N}
  • V_1, \ldots, V_k spazi vettoriali su \mathbb{K}
• Th
  • \dim(V_1 \times \ldots \times V_k) = \dim(V_1) \cdot \ldots \cdot \dim(V_k)

• Trasformazione lineari

• \mathbb{K} campo
• V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
• f: V \rightarrow W è detta trasformazione lineare \iff
  • \forall v, w \in V \quad f(v + w) = f(v) + f(w)
    • in particolare, deve essere morfismo rispetto a +
  • \forall v \in V, \lambda \in \mathbb{K} \quad f(\lambda v) = \lambda f(v)
• si noti che V \cong W \iff \exists f: V \rightarrow W \mid f trasformazione lineare biettiva

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • n:= \dim(V)
• Th
  • V \cong \mathbb{K}^n

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K} \mid \dim(V), \dim(W) finita
• Th
  • V \cong W \iff \dim(V) = \dim(W)

• Kernel e immagine di spazi vettoriali

• \mathbb{K} campo
• V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
• f : V \rightarrow W trasformazione lineare
• \ker(f) = \{v \in V \mid f(v) = 0_W\} è detto kernel/nucleo di f
• \textrm{im}(f) = \{w \in W \mid \exists v \in V : w = f(v)\} è detta immagine di f

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
  • f : V \rightarrow W trasformazione lineare
• Th
  • \ker(f) \subset V sottospazio

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K} \mid V, W hanno dimensione finita
  • f : V \rightarrow W trasformazione lineare
• Th
  • \textrm{im}(f) \subset W sottospazio

• Rango di una trasformazione lineare

• \mathbb{K} campo
• V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
• f: V \rightarrow W trasformazione lineare
• \textrm{rk}(f) := \dim(\textrm{im}(f)) è detto rango di f

• Spazio affine

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• +: A \times V \rightarrow A: (P, v) \rightarrow P + v
• (A, +) è detto spazio affine a V su \mathbb{K} \iff
  • \forall P \in A \quad +_P:V \rightarrow A : v \rightarrow P + v biettiva
  • \forall P \in A, v, w \in V \quad (P + v) + w = P + (v + w)
    • in particolare, deve valere la proprietà associativa mista

• Sottospazio affine

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• W \subset V sottospazio vettoriale
• v \in V
• S := v + W := \{v + w \mid w \in W\} è detto sottospazio di V affine a W
  • in particolare, si tratta di una classe laterale rispetto a + di W
  • può essere visualizzato graficamente come traslazione di W di un fattore pari a v
  • in particolare, questo mostra che \dim(S) = \dim(W), poiché è stata applicata solamente una traslazione senza alterarne la dimensione
• \textrm{Giac}(S) = W è detta giacitura di S

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
  • b \in \mathbb{K}^m
  • X := \{x \in \mathbb{K}^n \mid A x = b\} \neq \varnothing, dunque il sistema ammette almeno una soluzione
• Th
  • X sottospazio di \mathbb{K}^n affine a \ker(\mathscr{L}_A)
  • \dim(X) = n - \textrm{rk}(A)

• Prodotto scalare

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• u, v \in \mathbb{K}^n \mid u = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), v = \left(\begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)
• u \cdot v := \displaystyle \sum_{i = 1}^n{x_i \cdot y_i} è detto prodotto scalare tra u e v

• Spazio di Hilbert

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• V è detto spazio di Hilbert \iff in V è ben definito il prodotto scalare

• Base ortogonale di uno spazio di Hilbert

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio di Hilbert su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n base di V
• v_1, \ldots, v_n è detta base ortogonale di V \iff \forall i, j \in [1, n], i \neq j \quad v_i \cdot v_j = 0

• Base ortonormale di uno spazio di Hilbert

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio di Hilbert su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n base ortogonale di V
• v_1, \ldots, v_n è detta base ortonormale di V \iff \forall i, j \in [1, n] \quad v_i \cdot v_j = \left\{\begin{array}{cc} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{array}\right.
  • di fatto, una base ortonormale è una base ortogonale normalizzata
  • in particolare, è possibile ottenere v_1, \ldots, v_n a partire da e_1, \ldots, e_n tramite rotazioni e riflessioni

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • u, v \in \mathbb{K}^n
• Th
  • u \cdot v = v \cdot u
  • \forall \lambda \in \mathbb{K} \quad u \cdot (\lambda v) = \lambda(u \cdot v) = (\lambda u) \cdot v
  • \forall w \in \mathbb{K}^n \quad w \cdot (u + v) = w \cdot u + w \cdot v
  • \forall w \in \mathbb{K}^n \quad (u + v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w

• Norma di un vettore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• u \in \mathbb{K}^n \mid u = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)
• ||u|| := \sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2} è detta norma di u
  • graficamente, corrisponde alla lunghezza del vettore u nel piano cartesiano

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • u \in \mathbb{K}^n \mid u = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)
• Th
  • ||u|| = \sqrt{u \cdot u}

• Sottospazio ortogonale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• V \subset \mathbb{K}^n sottospazio vettoriale
• V^{\perp} := \{w \in \mathbb{K}^n \mid \forall v \in V \quad w \cdot v = 0_{\mathbb{K}^n}\} è detto sottospazio di \mathbb{K}^n ortogonale a V
  • la definizione ha significato poiché il prodotto scalare tra due vettori è nullo esattamente quando i due vettori sono perpendicolari tra loro

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • V \subset \mathbb{K}^n sottospazio vettoriale
• Th
  • V^{\bot} \subset \mathbb{K}^n sottospazio vettoriale

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • V \subset \mathbb{K}^n sottospazio vettoriale
• Th
  • \dim(V^{\bot}) + \dim(V) = \dim(\mathbb{K}^n)

• Matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}):= \underbrace{\mathbb{K}^m \times \ldots \times \mathbb{K}^m}_{n \ \textrm{volte}} è detto insieme delle matrici aventi m righe e n colonne a coefficienti in \mathbb{K}

• Vettori riga e vettori colonna

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• \forall v \in \textrm{Mat}_{1 \times n}(\mathbb{K}) \quad v = \left(x_1, \ldots, x_n\right) è detto vettore riga
• \forall v \in \textrm{Mat}_{m \times 1}(\mathbb{K}) \quad v = \left(\begin{array}{ccc} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{array}\right) è detto vettore colonna
• \forall A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \quad \exists A^1, \ldots, A^n \in \mathbb{K}^m vettori colonna e A_1, \ldots, A_m \in \mathbb{K}^n vettori riga \mid A = \left(A^1, \ldots, A^n \right) = \left(\begin{array}{ccc} A_1 \\ \vdots \\ A_m\end{array}\right)

• + tra matrici

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• \forall i \in [1, m], j \in [1, n] \quad a_{i, j}, b_{i, j} \in \mathbb{K}
• A, B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \mid A = \left(\begin{array}{ccc} a_{1, 1} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m, 1} & \cdots & a_{m, n} \end{array}\right) \land B = \left(\begin{array}{ccc} b_{1, 1} & \cdots & b_{1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m, 1} & \cdots & b_{m, n} \end{array}\right)
• A + B = \left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} + b_{1, 1} & \cdots & a_{1, n}+b_{1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1}+b_{m, 1} & \cdots & a_{m,n}+b_{m, n} \end{array}\right) è detta somma tra A e B
  • in particolare, è definita solamente per matrice con stessa dimensione

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
• Th
  • \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) spazio vettoriale
  • \dim(\textrm{Mat}_{m \times n}{\mathbb{K}}) = m \cdot n

• \cdot tra matrici

• \mathbb{K} campo
• l, m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{l \times m}(\mathbb{K}) \mid A = \left(\begin{array}{ccc} a_{1, 1} & \cdots & a_{1, m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{l, 1} & \cdots & a_{l, m} \end{array}\right)
• B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \mid B = \left(\begin{array}{ccc} b_{1, 1} & \cdots & b_{1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m, 1} & \cdots & b_{m, n} \end{array}\right)
• C \in \textrm{Mat}_{l \times n}(\mathbb{K}) \mid C = AB è detto prodotto tra A e B, ed è definito come \left(\begin{array}{ccc}a_{1, 1}b_{1, 1} + \ldots + a_{1, m}b_{m, 1} & \cdots & a_{1, 1}b_{1, n} + \ldots + a_{1, m}b_{m,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\a_{l,1}b_{1, 1} + \ldots + a_{l,m}b_{m, 1} & \cdots & a_{l,1}b_{1,n} + \ldots + a_{l, m}b_{m,n}\end{array}\right)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • l, m, n, k \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{l \times m}(\mathbb{K})
  • B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \forall C \in \textrm{Mat}_{n \times k}(\mathbb{K}) \quad (AB)C = A(BC)
  • \forall C \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \quad A(B+C) = AB+AC
  • \forall \lambda \in \mathbb{K} \quad \lambda(AB) = (\lambda A)B = A (\lambda B)

• Moltiplicazione sinistra

• \mathbb{K} campo
• m,n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \mathscr{L}_A:\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m: x \rightarrow Ax è detta moltiplicazione sinistra di A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m,n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \mathscr{L}_A trasformazione lineare

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m,n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \ker(\mathscr{L}_A) = \textrm{span}(A_1, \ldots, A_m)^\bot
  • \textrm{im}(\mathscr{L}_A) = \textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)

• Rango di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m,n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \textrm{rk}(A):=\textrm{rk}(\mathscr{L}_A) è detto rango di A
  • in particolare \textrm{rk}(A) := \textrm{rk}(\mathscr{L}_A) := \dim(\textrm{im}(\mathscr{L}_A))
  • inoltre, \textrm{rk}(A) \le \min(m, n)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m,n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \textrm{rk}(A) =\dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)) = \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_m))

• Scambio di righe di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \forall A_1, \ldots, A_m righe di A, scambiare A_i e A_j lascia invariato \ker(\mathscr{L}_A)

• Moltiplicazione di una riga per una costante

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}^*
• \forall A_1, \ldots, A_m righe di A, moltiplicare A_i per \lambda lascia invariato \ker(\mathscr{L}_A)

• Somma di una riga con un multiplo di un’altra

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}^*
• \forall A_1, \ldots, A_m righe di A, sommare ad A_i un certo \lambda \cdot A_j lascia invariato \ker(\mathscr{L}_A)

• Scambio di colonne di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \forall A^1, \ldots, A^m colonne di A, scambiare A^i e A^j lascia invariato \textrm{im}(\mathscr{L}_A)

• Moltiplicazione di una colonna per una costante

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}^*
• \forall A^1, \ldots, A^m colonne di A, moltiplicare A^i per \lambda lascia invariato \textrm{im}(\mathscr{L}_A)

• Somma di una colonna con un multiplo di un’altra

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}^*
• \forall A^1, \ldots, A^m righe di A, sommare ad A^i un certo \lambda \cdot A^j lascia invariato \textrm{im}(\mathscr{L}_A)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
  • A \equiv_R B \iff è possibile ricavare B da A eseguendo operazioni tra righe
• Th
  • \equiv_R relazione di equivalenza
  • A \equiv_R B \implies \left \{ \begin{array}{l}\ker(\mathscr{L}_A) = \ker(\mathscr{L}_B) \\ \textrm{rk}(A) = \textrm{rk}(B) \end{array} \right.

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
  • A \equiv_C B \iff è possibile ricavare B da A eseguendo operazioni tra colonne
• Th
  • \equiv_C una relazione di equivalenza
  • A \equiv_C B \implies \left \{ \begin{array}{l}\textrm{im}(\mathscr{L}_A) = \textrm{im}(\mathscr{L}_B) \\ \textrm{rk}(A) = \textrm{rk}(B) \end{array}\right.

• Vettore trasposto

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• v \in \textrm{Mat}_{n \times 1}(\mathbb{K}) \mid \exists x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{K} : v = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)
• v^T = \left(x_1, \ldots, x_n\right) è detto vettore trasposto di v
  • vicendevolmente, se v è un vettore riga, il suo trasposto sarà il corrispondente vettore colonna

• Matrice trasposta

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \mid A = \left(A^1, \ldots, A^n\right)
• A^T = \left(\begin{array}{c} {A^1}^T \\ \vdots \\ {A^n}^T \end{array}\right)\in \textrm{Mat}_{n \times m}(\mathbb{K}) è detta matrice trasposta di A

• Matrice simmetrica

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta simmetrica \iff A^T = A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • (A\cdot B)^T = B^T\cdot A^T

• Matrice identità

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• I_n = \left(\begin{array}{c}e_1 \\ \vdots \\ e_n \end{array}\right) = \left(e_1^T, \ldots, e_n^T\right) = \left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & & & \vdots\\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ 0 &\cdots & \cdots & 0 & 1\end{array}\right) è detta matrice identità
  • in particolare \forall A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \quad A\cdot I_n = I_n \cdot A = A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}), +, \cdot) è un anello

• Matrice invertibile

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta invertibile \iff \exists A^{-1} \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A\cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n
  • in particolare A invertibile \iff \det(A) \neq 0

• Gruppo Generale Lineare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) := \{A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A invertibile\} è detto gruppo generale lineare
  • in particolare \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) := \{A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid \det(A) \neq 0\}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{GL}(n, \mathbb{K}), \cdot) gruppo

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • f: \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K}^*
• Th
  • f morfismo di gruppi

• Gruppo Speciale Lineare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• \textrm{SL}(n, \mathbb{K}) := \{A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid \det(A) = 1\} è detto gruppo speciale lineare

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{SL}(n, \mathbb{K}), \cdot) \trianglelefteq (\textrm{GL}(n, \mathbb{K}), \cdot)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{GL}(n, \mathbb{K}) / \textrm{SL}(n , \mathbb{K}), \cdot) è ben definito

• Matrice ortogonale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K})
• A è detta ortogonale \iff A \cdot A^T = A^T \cdot A = I_n
  • in particolare A^{-1} = A^T
  • inoltre, A_1, \ldots A_n e A^1, \ldots, A^n base ortonormale di \mathbb{K}^n

• Gruppo ortogonale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K})
• \textrm{O}(n) := \{ A \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \mid A ortogonale\} è detto gruppo ortogonale
  • in particolare \textrm{O}(n) := \{A \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \mid A^{-1} = A^T\}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{O}(n), \cdot) \leqslant (\textrm{GL}(n, \mathbb{K}), \cdot)

• Matrice singolare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta singolare \iff \det(A) = 0

• Matrici simili

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta simile a B \iff \exists C \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \mid A = C^{-1}BC

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
• Th
  • \det(A) = \det(B)

• Traccia

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \textrm{tr}(A) := a_{1,1}+ \ldots + a_{n,n} è detta traccia di A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
• Th
  • \textrm{tr}(A) = \textrm{tr}(B)

• Matrice triangolare superiore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta triangolare superiore \iff \forall i, j \in [1, n], i \gt j \quad a_{i,j} = 0

• Matrice triangolare inferiore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta triangolare inferiore \iff \forall i, j \in [1, n], i \lt j \quad a_{i,j} = 0

• Matrice triangolare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta triangolare \iff A triangolare superiore o triangolare inferiore

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A triangolare
• Th
  • \det(A) = a_{1,1} \cdot \ldots \cdot a_{n, n}

• Matrice triangolarizzabile

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta triangolarizzabile \iff \exists B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid B triangolare \land \ B simile ad A

• Matrice diagonale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta diagonale \iff \forall i, j \in [1, n], i \neq j \quad a_{i, j} = 0
  • in particolare, A diagonale \iff A triangolare superiore ed inferiore

• Matrice diagonalizzabile

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta diagonalizzabile \iff \exists B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid B diagonale \land \ B simile ad A
  • in particolare B è detta matrice diagonalizzante

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A diagonalizzabile
• Th
  • A triangolarizzabile

• Sottomatrice di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• A_i^j è detta sottomatrice di A \iff A_i^j si ottiene rimuovendo A_i e A^j da A

• Minore di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• M è detto minore di A \iff M è una sottomatrice quadrata di A

• Orlato di un minore

• \mathbb{K} campo
• m, n, r \in \mathbb{N} \mid r \lt m \land r \lt n
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• M \in \textrm{Mat}_{r \times r}(\mathbb{K}) minore di A
• M' \in \textrm{Mat}_{(r + 1) \times (r + 1)}(\mathbb{K}) è detto orlato di M \iff M' è minore di A e M si ottiene rimuovendo una riga e una colonna da M'

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n, r \in \mathbb{N} \mid r \lt m \land r \lt n
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
  • M \in \textrm{Mat}_{r \times r}(\mathbb{K}) minore di A
• Th
  • M ha (m-r)\cdot(n-r) orlati in A

• Matrice completa

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• b \in \textrm{Mat}_{m \times 1}(\mathbb{K})
• A_b:=\left(\begin{array}{cccc}a_{1, 1} & \cdots & a_{1, n} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m, 1} & \cdots & a_{m,n} & b_m\end{array}\right) è detta matrice completa di A e b

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K} \mid \left \{ \begin{array}{l} \dim(V) = n \\ \dim(W) = m \end{array} \right.
  • \mathcal{B}=\{v_1, \ldots, v_n\} base di V
  • \mathcal{C}=\{w_1, \ldots, w_m\} base di W
  • f: V \rightarrow W trasformazione lineare
  • \varphi_\mathcal{B}: \mathbb{K}^n \rightarrow V: (b_1, \ldots, b_n) \rightarrow b_1v_1 + \ldots + b_nv_n trasformazione lineare biettiva
  • \varphi_\mathcal{C}: \mathbb{K}^m \rightarrow W: (c_1, \ldots, c_m) \rightarrow c_1w_1 + \ldots + c_mw_m trasformazione lineare biettiva
• Th
  • \exists !A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \mid f = \varphi_\mathcal{C}\cdot \mathscr{L}_A \cdot \varphi_\mathcal{B}^{-1}, e prende il nome di matrice di f

• Matrice di Vandermonde

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• b_0, \ldots, b_n \in \mathbb{K} \mid \forall i, j \in [1, n], i \neq j \quad b_i \neq b_j
• V(b_0, \ldots, b_n) := \left ( \begin{array}{cccc} b_0^0 & b_0^1 & \cdots & b_0^n \\ b_1^0 & b_1^1 & \cdots & b_1^n \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\\vdots & &\ddots & \vdots \\ b_n^0 & b_n^1 & \cdots & b_n^n\end{array}\right) è detta matrice di Vandermonde a coefficienti b_0, \ldots, b_n

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • b_0, \ldots, b_n \in \mathbb{K} \mid \forall i, j \in [1, n], i \neq j \quad b_i \neq b_j
• Th
  • \det(V(b_0, \ldots, b_n)) = \displaystyle \prod_{0 \le i \lt j \le n}{(b_j - b_i)}

• Applicazione multilineare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• V_1, \ldots, V_n, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
• f: V_1 \times \ldots \times V_n \rightarrow W:(v_1, \ldots, v_n) \rightarrow w
• f è detta multilineare \iff \forall i \in [1, n], v_1 , \ldots, v_n \in V_1 \times \ldots \times V_n, v_i, v_i' \in V_i, \lambda, \mu \in \mathbb{K} \quad f(v_1, \ldots, \lambda v_i+\mu v_i', \ldots, v_n) = \lambda f(v_1, \ldots, v_i, \ldots, v_n) + \mu f(v_1, \ldots, v_i', \ldots, v_n)
  • in particolare, tenendo fisse tutte le variabili tranne la i-esima, f è una trasformazione lineare

• Determinante

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• \det : \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K}
• 1. \forall A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \quad \det multilineare su A_1, \ldots A_n e A^1, \ldots, A^n
• 2. \forall A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \quad A_1, \ldots A_n e A^1, \ldots, A^n basi di \mathbb{K}^n \iff \det(A) \neq 0
  • in particolare \exists i, j \in [1, n], i \neq j \mid A^i = A^j \lor A_i = A_j \implies \det(A) = 0
• 3. \det(I_n) = 1
• 4. per \mathbb{K} \mid 1_{\mathbb{K}} \neq -1_{\mathbb{K}} \quad scambiando due righe o due colonne \det(A) cambia segno
  • ad esempio in \mathbb{Z}_2 = \{[0], [1]\} si ha che [1] = [-1]
• \det è detto determinante \iff \det verifica 1, 2 e 3, oppure 1, 3 e 4
  • poiché è possibile dimostrare che la funzione che verifica tali condizioni esiste ed è unica, allora il \det è totalmente determinato da tali caratteristiche

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • \lambda \in \mathbb{K}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • A_i \in A
• Th
  • \det(A_1, \ldots, \lambda A_i, \ldots, A_n) = \lambda \cdot \det(A)

• Hp
  • \mathbb{K} campo \mid 1_{\mathbb{K}} \neq -1_{\mathbb{K}}
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • A_i, A_j \in A
• Th
  • \det(A_1, \ldots, A_i, \ldots, A_j , \ldots, A_n) = -\det(A_1, \ldots, A_j, \ldots, A_i, \ldots, A_n)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • \mu \in \mathbb{K}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • A_i, A_j \in A
• Th
  • \det(A_1, \ldots, A_i + \mu A_j , \ldots, A_n) = \det(A)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \det(A) = \det(A^T)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \displaystyle{\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \textrm{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{i=1}^n{a_{i, \sigma(i)}}}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • A \in \textrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{K})
  • A = \left(\begin{array}{cc}a_{1,1} & a_{1, 2} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2}\end{array}\right)
• Th
  • \det(A) = a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • A \in \textrm{Mat}_{3 \times 3}(\mathbb{K})
  • A = \left(\begin{array}{ccc}a_{1,1} & a_{1, 2} & a_{1,3}\\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\end{array}\right)
• Th
  • \det(A) = a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} - a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \forall 1 \le i, j \le n \quad \det(A) = \displaystyle \sum_{k = 1}^{n}{(-1)^{i + k}\cdot a_{i, k} \cdot \det(A_i^k)} = \sum_{h = 1}^n{(-1)^{h + j}\cdot a_{h, j} \cdot \det(A_h^j)}

• Matrice dei cofattori

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A^* è detta matrice dei cofattori di A \iff \forall i, j \in [1, n] \quad a^*_{i, j} = (-1)^{i + j}\cdot \det(A_i^j)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid \det(A) \neq 0
• Th
  • A^{-1}=\det(A)^{-1} \cdot (A^*)^T

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • A \in \textrm{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{K}) \mid \det(A) \neq 0
  • A = \left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)
• Th
  • A^{-1}=\dfrac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  1. A invertibile
  2. \textrm{rk}(A)=n
  3. A_1, \ldots, A_n base di \mathbb{K}^n
  4. A^1, \ldots, A^n base di \mathbb{K}^n
  5. \det(A) \neq 0
  6. A \equiv_R I_n
  7. A \equiv_C I_n
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• p_A(x) := \det(x\cdot I_n - A) è detto polinomio caratteristico di A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • p_A(x) = x^n - \textrm{tr}(A)\cdot x^{n -1} + \ldots + (-1)^n \cdot \det(A)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
• Th
  • p_A(x) = p_B(x)

• Autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}
• \lambda è detto autovalore di A \iff p_A(\lambda) = 0

• Spettro

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \textrm{sp}(A) := \{\lambda \in \mathbb{K} \mid p_A(\lambda) = 0\} è detto spettro di A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
• Th
  • \textrm{sp}(A) = \textrm{sp}(B)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda \in \mathbb{K}
• Th
  • \lambda autovalore \iff \exists v \in \mathbb{K}^n - \{0_{\mathbb{K}^n}\} \mid A \cdot v = \lambda \cdot v

• Autovettore relativo ad un autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \textrm{sp}(A)
• v \in \mathbb{K}^n - \{0_{\mathbb{K}^n}\}
• v è detto autovettore di A relativo a \lambda \iff (A- \lambda \cdot I_n) \cdot v = 0

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \textrm{sp}(A)
  • v_1, \ldots, v_k autovettori di A relativi rispettivamente a \lambda_1, \ldots, \lambda_k
• Th
  • v_1, \ldots, v_k linearmente indipendenti

• Autospazio relativo ad un autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \textrm{sp}(A)
• \textrm{E}_\lambda(A) := \{v \in \mathbb{K}^n \mid (A - \lambda \cdot I_n) \cdot v = 0\} è detto autospazio di A relativo a \lambda
  • in particolare 0_{\mathbb{K}^n} \in \textrm{E}_\lambda(A), altrimenti non sarebbe sottospazio vettoriale

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda \in \textrm{sp}(A)
• Th
  • \textrm{E}_\lambda(A) \subset \mathbb{K} sottospazio vettoriale

• Molteplicità algebrica di un autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \textrm{sp}(A)
• \mu(\lambda) := \underset{\varepsilon \in \mathbb{N}}{\operatorname{arg\,max}} \ (x - \lambda)^\varepsilon \mid p_A(x) è detta molteplicità algebrica di \lambda

• Molteplicità geometrica di un autovalore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \textrm{sp}(A)
• \nu(\lambda):=\dim(\textrm{E}_\lambda(A)) è detta molteplicità geometrica di \lambda

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
  • \lambda \in \textrm{sp}(A) = \textrm{sp}(B)
• Th
  • \mu_A(\lambda) = \mu_B(\lambda)
  • \nu_A(\lambda) = \nu_B(\lambda)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda \in \textrm{sp}(A)
• Th
  • \nu(\lambda) = n - \textrm{rk}(A - \lambda \cdot I_n)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • \lambda \in \textrm{sp}(A)
• Th
  • \nu(\lambda) \le \mu(\lambda)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  1. A triangolarizzabile
  2. \displaystyle \sum_{\lambda \in \textrm{sp}(A)}{\mu(\lambda)} = n
  3. \displaystyle p_A(x) = \prod_{\lambda \in \textrm{sp}(A)}{(x - \lambda)}^{\mu(\lambda)}, ovvero p_A(x) è completamente fattorizzabile
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{C})
• Th
  • A è triangolarizzabile

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R})
• Th
  • A triangolarizzabile \iff \forall \lambda \in \textrm{sp}(A) \quad \lambda \in \mathbb{R}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  1. A diagonalizzabile
  2. \displaystyle \sum_{\lambda \in \textrm{sp}(A)}{\nu(\lambda)} = n
  3. \exists B^1, \ldots, B^n autovettori di A \mid B^1, \ldots, B^n base di \mathbb{K}^n
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • B^1, \ldots, B^n autovettori di A \mid B = (B^1, \ldots, B^n) \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \land B^1, \ldots, B^n base di \mathbb{K}^n
• Th
  • A diagonalizzabile, dove B è la matrice diagonalizzante

• Insieme dei numeri complessi

• \mathbb{C}:=\left\{a+i b \mid a, b \in \mathbb{R}, \ i : i^{2}=-1\right\} è detto insieme dei numeri complessi
• \forall z \in \mathbb{C} \quad \left\{\begin{array}{l}a:=\operatorname{Re}(z) \\ b:=\operatorname{Im}(z)\end{array}\right., dove a è detta parte reale e b è detta parte immaginaria

• Hp
  • a, b, c, d \in \mathbb{R}
  • z \in \mathbb{C} \mid z=a+i b
  • w \in \mathbb{C} \mid w=c+i d
• Th
  • z + w = (a+b)+i (c +d)
  • z\cdot w=(a c-b d)+i(ad+ bc)

• Coniugato

• a, b \in \mathbb{R}
• z \in \mathbb{C} \mid z=a+i b
• \overline{z}:=a-i b è detto coniugato di z

• Hp
  • a,b, c, d, \in \mathbb{R}
  • z \in \mathbb{C} \mid z=a+i b
  • w \in \mathbb{C} \mid w=c+i d
• Th
  • \overline{z}+\overline{w}=\overline{z+w}
  • \overline{z} \cdot \overline{w}=\overline{z \cdot w}

• Hp
  • 0 \le \theta \lt 2 \pi
• Th
  • e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta

• Raggio

• a, b \in \mathbb{R}
• z \in \mathbb{C} \mid z = a+ib
• |z|:=\sqrt{a^{2}+b^{2}} è detto raggio di z
  • corrisponde alla distanza di z dall’origine nel piano di Gauss

• Forma polare

• a, b \in \mathbb{C}
• z \in \mathbb{C}
• z=|z|\cdot e^{i \theta} è detta forma polare di z

• Soluzione principale

• a, b \in \mathbb{R}
• z \in \mathbb{C} \mid z = a + i b
• \arg(z) \subset \mathbb{R} è detto insieme delle soluzioni del sistema \left\{\begin{array}{l}\cos (\theta)=\frac{a}{|z|} \\ \sin (\theta)=\frac{b}{|z|}\end{array}\right.
• per definizione di \textrm{arg}(z) \quad \exists ! \theta \mid 0 \leq \theta \le 2 \pi tale che \theta sia soluzione del sistema, e questo prende il nome di \textrm{Arg}(z), detta soluzione principale

• Hp
  • (\mathbb{C}, +, \cdot) è un gruppo
• Th
  • (\mathbb{C}, +, \cdot ) è un campo

• Hp
  • z, w \in \mathbb{C}
• Th
  • |z \cdot w|=|z|\cdot |w| \quad \arg(z\cdot w)=\arg(z) + \arg(w)
  • |\overline{w}|=|w| \quad \arg(\overline{w})=-\arg(w)
  • |w^{-1}|={|w|}^{-1}\quad \arg(w^{-1})=-\arg(w)
  • \left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|} \quad \arg\left(\dfrac{z}{w}\right)=\arg(z) - \arg(w)

• Hp
  • z \in \mathbb{C}
• Th
  • z^{n}=|z|^{n} e^{i \theta n} \quad \arg \left( z^{n} \right)=n \arg (z)

• Coefficiente binomiale

• 0! := 1
• n, k \in \mathbb{N}
• \displaystyle \binom{n}{k}:=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{n !}{n !(n-k) !} & k \leqslant n \\ \\ 0 & k>n\end{array}\right. è detto coefficiente binomiale di n su k

• Hp
  • n, k \in \mathbb{N}
• Th
  • \displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

• Hp
  • n, k \in \mathbb{N}
• Th
  • \displaystyle \binom{n}{k + 1} = \binom{n - 1}{k + 1}+ \binom{n - 1}{ k}

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
  • k \in \mathbb{N} \mid 0 \lt k \lt p
• Th
  • p \ \bigg\vert \displaystyle \binom{p}{k}

• Hp
  • n \in \mathbb{Z}
  • p \in \mathbb{P} : p \mid n
  • [a] \in \mathbb{Z}_{p}
  • k \in \mathbb{N} \mid 0 \lt k \lt p
• Th
  • \displaystyle \binom{p}{k} \cdot [a] = [0] in \mathbb{Z}_p

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
  • [a], [b] \in \mathbb{Z}_p
• Th
  • ([a]+[b])^{p}=[a]^{p}+[b]^{p} in \mathbb{Z}_p

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
  • [a_1], \ldots, [a_n] \in \mathbb{Z}_p
• Th
  • \left(\left[a_{1}\right]+\ldots+\left[a_{n}\right]\right)^{p}=\left[a_{1}\right]^{p}+\ldots+\left[a_{n}\right]^{p} in \mathbb{Z}_p

• Induzione

• P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots successione infinita di proposizioni \mid P_{1} vera e \forall n \ge 1 \quad P_{1}, \ldots, P_{n} \implies P_{n+1}
• allora \forall n \quad P_n vera

• Hp

  • \left\{\begin{array}{l}F_0 = 0 \\ F_1 = 1 \\ F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2} \quad n \ge 2\end{array}\right. è detta sequenza di Fibonacci

  • x^2 -x -1 = 0 ha come soluzioni \left\{\begin{array}{l}\varphi := \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \psi := \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\end{array}\right.

• Th
  • \forall n \in \mathbb{N} \quad F_{n}=\dfrac{\varphi^{n}-\psi^{n}}{\varphi-\psi}=\dfrac{\varphi^{n}-\psi^{n}}{\sqrt{5}}

• Hp
  • a, b, c, \in \mathbb{Z}
• Th
  • a \mid b \land a \mid c \implies \forall z \in I(b, c) \quad a \mid z

• In
  • a, b \in \mathbb{Z} \mid 0 \lt a \le b
• Out
  • d:=\textrm{MCD}(a, b)
• Alg
  • r_0:=b
  • r_1:=a
  • r_{i - 1} := r_1
  • r_i :\equiv r_0 \ (\bmod \ r_1)
  • r_{i + 1} :\equiv r_{i - 1} \ (\bmod \ r_i)
  • \texttt{while} \ r_{i + 1} \neq 0 \texttt{:}
    • r_{i - 1} := r_i
    • r_i := r_{i + 1}
    • r_{i + 1} \equiv r_{i - 1} \ (\bmod \ r_i)
  • \texttt{return} \ r_i
• Th
  • siano i \in [0, n + 1] le iterazioni dell’algoritmo, dove r_{n + 1} = 0
  • r_n = d

• In
  • A interlocutore
  • p, q \in \mathbb{P} \mid p \neq q, con p, q sufficientemente grandi
  • m messaggio \mid \textrm{MCD}(m, n) = 1
• Out
  • \texttt{pub}_A, \texttt{priv}_A
• Alg
  • n := pq
  • \lambda(n) := \textrm{mcm}(p-1, q-1)
  • e \in \mathbb{N} \mid \left \{ \begin{array}{l} 1 \lt e \lt \lambda(n) \\ \textrm{MCD}(e, \lambda(n))= 1 \end{array} \right.
  • d:= e^{-1} \ (\bmod \ \lambda(n))
  • \texttt{pub}_A(m, e, n) := m^e \ (\bmod \ n)
  • \texttt{priv}_A(m, d, n) := (m^e)^d \ (\bmod \ n)
• Oss
  • se p,q non fossero sufficientemente grandi, poiché n è pubblico, si rischierebbe di poter trovare p e q, permettendo di decrittare il messaggio anche da chi non possiede d
  • p \mid m \implies m^{ed} \equiv m \equiv 0 \ (\bmod \ p), il che comporterebbe una perdita di informazione
• Th
  • \texttt{priv}_A(\texttt{pub}_A(m, e, n), d, n) = m

• In
  • n \in \mathbb{N}
  • b_0, \ldots, b_n, c_0, \ldots, c_n \in \mathbb{K} \left \{ \begin{array}{c}(b_0, c_0) \\ \vdots \\ (b_n, c_n) \end{array} \right. sono punti del p(x) da trovare, e inoltre \forall i \in [1, n], i \neq j \quad b_i \neq b_j
• Out
  • p(x) \in \mathbb{K}[x]_{\le n} \mid \left \{ \begin{array}{c} c_0 := a_0 + a_1b_0 + a_2b_0^2 + \ldots + a_nb_0^n = p(b_0) \\ c_1:=a_0 + a_1b_1 + a_2b_1^2 + \ldots + a_nb_1^n = p(b_1) \\ \vdots \\ c_n := a_0 + a_1b_n + a_2b_n^2 + \ldots + a_nb_n^n = p(b_n) \end{array} \right.
• Alg
  • \forall i \in [0, n] \quad p_i(x) := \displaystyle \prod_{\begin{subarray}{c}0 \le j \le n \\ i \neq\ j \end{subarray}}{\dfrac{x - b_j}{b_i - b_j}}
  • p(x) := c_0p_0(x) + \ldots + c_n p_n(x)
• Oss
  • è possibile sfruttare questo algoritmo per lo scambio di messaggi, ponendo il messaggio da inviare all’interno del termine noto di p(x)
  • una volta reperito p(x) a partire dai punti \left \{ \begin{array}{c}(b_0, c_0) \\ \vdots \\ (b_n, c_n) \end{array} \right., basterà porre p(0) per recuperare il messaggio
  • la sicurezza di tale algoritmo è fornita dal fatto che è impossibile ricostruire p(x) senza avere tutti i punti necessari, altrimenti non è possibile ricostruire p(x) come combinazione lineare in \mathbb{K}[x]_{\le n}

• In
  • \mathbb{K} campo
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • v_1, \ldots, v_n base di V
  • \textrm{proj}_u(v) := \dfrac{u \cdot v}{u \cdot u} u
• Out
  • u_1, \ldots, u_n base ortogonale di V
• Alg
  • \left \{ \begin{array}{l} u_1 := v_1 \\ u_2 := v_2 - \textrm{proj}_{u_1}(v_2) \\ u_3 := v_3 - \textrm{proj}_{u_1}(v_3) - \textrm{proj}_{u_2}(v_3) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ u_n := v_n - \displaystyle{\sum_{i = 1}^{n - 1}{\textrm{proj}_{u_i}(v_n)}}\end{array}\right.
• Oss
  • siano u, v \in V, e \theta l’angolo compreso tra u e v, e x la norma della proiezione di v su u
  • allora \textrm{proj}_u(v)= xu, poiché x è la norma della proiezione e u ne dà la direzione
  • per definizione \cos (\theta)=\dfrac{x}{||v||}
  • inoltre, per dimostrazione precedente \cos (\theta)=\dfrac{u \cdot v}{||u|| \cdot ||v||}
  • allora \dfrac{x}{||v||}=\cos (\theta)=\dfrac{u \cdot v}{||u|| \cdot ||v||} \implies x = \dfrac{u \cdot v}{||u||}
  • allora, ha significato la funzione che proietta v su u, poiché \textrm{proj}_u(v)=xu=\dfrac{u \cdot v}{||u||} \cdot \dfrac{u}{||u||} =\dfrac{u \cdot v}{u \cdot u}u

• Hp
  • p(x) \in \mathbb{C}[x]
• Th
  • \exists z \in \mathbb{C} \mid p(z) = 0

• Hp
  • m \in \mathbb{Z}
  • n \in \mathbb{Z} - \{0\}
• Th
  • \exists ! \ q, r \in \mathbb{Z} \mid m=n q+r \quad 0 \leq r<n

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • a(x), b(x) \in \mathbb{K}[x] \mid b(x) \neq 0
• Th
  • \exists ! q(x), r(x) \in \mathbb{K}[x] \mid a(x) = b(x) q(x) + r(x) \quad \deg(r(x)) \lt \deg(b(x))

• Hp
  • G gruppo finito
  • H \leqslant G
• Th
  • |G| = |G / H| \cdot |H|

• Hp
  • a, b \in \mathbb{N}
• Th
  • \textrm{mcm}(a, b) \cdot \textrm{MCD}(a, b) = a \cdot b

• Hp
  • a_1, \ldots, a_n \ge 2 \in \mathbb{Z} \mid \textrm{MCD}(a_i, a_j) = 1 \quad \forall i, j \in [1, n] : i \neq j
  • m := \textrm{mcm}(a_1, \ldots, a_n)
• Th
  • m = a_1 \cdot \ldots \cdot a_n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}_{n \ge 2}
  • m:= \textrm{mcm}(a_1, \ldots, a_n)
• Th
  • \exists \phi \mid \phi: \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_{a_1} \times \ldots \times \mathbb{Z}_{a_n}: x \ (\bmod \ m) \rightarrow (x \ (\bmod \ a_1), \ldots, x \ (\bmod \ a_n)) è una funzione ben definita, ed è iniettiva

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}_{\ge 2} \mid \forall i, j \in [1, n] \quad i \neq j \implies \textrm{MCD}(a_i, a_j) = 1
  • b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{Z} \mid 0 \leq b_{1}<a_{1}, \ldots, 0 \leq b_n \lt a_n
  • m := \textrm{mcm}(a_1, \ldots, a_n)
• Th
  • \exists ! x \ (\bmod \ m) \mid \left\{\begin{array}{c}x \equiv b_{1}\ \left(\bmod \ a_{1}\right) \\ \vdots \\ x \equiv b_{n}\ \left(\bmod \ a_{n}\right)\end{array}\right.

• Hp
  • k \in \mathbb{N}
  • n_1, \ldots, n_k \in \mathbb{N} - \{0\} \mid \forall i, j \in [1, k] \quad i \neq j \implies \textrm{MCD}(n_i, n_j) = 1
  • N := \textrm{mcm}(n_1, \ldots, n_k)
  • [a] \in \mathbb{Z}_N^*
  • o := o([a]) in \mathbb{Z}_N^*
  • \forall h \in [1, k] \quad o_h := o([a]) in \mathbb{Z}_{n_h}^*
  • m := \textrm{mcm}(o_1, \ldots, o_k)
• Th
  • o = m

• Hp
  • A anello commutativo
  • a, b \in A
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (a+b )^n = \displaystyle{\sum_{k = 0}^{n}{\binom{n}{k} a^k b ^{n - k}}}

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
  • a \in \mathbb{Z}
• Th
  • a^{p} \equiv a \ (\bmod \ p)

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
  • [a] \in \mathbb{Z}_{p}-\{[0]\}
• Th
  • [a]^{-1}=\left[a\right]^{p-2}

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
• Th
  • \displaystyle \prod_{0 \lt a \lt p} (x - a) \equiv x^{p - 1} - 1 \ (\bmod \ p)

• Hp
  • a, n \in \mathbb{N} \mid \textrm{MCD}(a, n) = 1
• Th
  • a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (\bmod \ n)

• Hp
  • A, B anelli
  • f: A \rightarrow B morfismo di anelli
• Th
  • A / \textrm{ker}(f) \cong \textrm{im}(f), ovvero \exists \varphi \mid \varphi : A / \textrm{ker}(f) \rightarrow \textrm{im}(f): [a] \rightarrow f(a) isomorfismo di anelli

• Hp
  • G, H gruppi
  • f: G \rightarrow H morfismo di gruppi
• Th
  • G / \textrm{ker}(f) \cong \textrm{im}(f), o alternativamente \exists \varphi \mid \varphi : G / \textrm{ker}(f) \rightarrow \textrm{im}(f): [g] \rightarrow f(g) isomorfismo di gruppi

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
  • f:V \rightarrow W trasformazione lineare
• Th
  • V/\ker(f) \cong \textrm{im}(f), o alternativamente \exists \varphi \mid \varphi : V/\ker(f) \rightarrow \textrm{im}(f):[v] \rightarrow f(v) trasformazione lineare

• Hp
  • G gruppo finito
  • p \in \mathbb{P} : p \bigg\vert |G|
• Th
  • \exists g \in G \mid o(g) = p

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • u, v \in \mathbb{K}^n \mid u = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), v = \left(\begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)
  • \theta l’angolo compreso tra u e v
• Th
  • ||u - v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 - 2\cos(\theta) \cdot||u||\cdot ||v||

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • u, v \in \mathbb{K}^n \mid u = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), v = \left(\begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)
  • \theta l’angolo compreso tra u e v
• Th
  • \cos(\theta)= \dfrac{u \cdot v}{||u|| \cdot ||v||}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
  • f:V \rightarrow W trasformazione lineare
• Th
  • \dim(\textrm{im}(f)) + \dim(\ker(f)) = \dim(V)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
  • b \in \mathbb{K}^m
• Th
  • \exists x \in \mathbb{K}^n \mid A x = b \iff \textrm{rk}(A) = \textrm{rk}(A_b)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid \det(A) \neq 0
  • b \in \mathbb{K}^n
• Th
  • \left\{\begin{array}{c}x_1 = \det(A)^{-1} \cdot \det\left(\begin{array}{cccc}b_1 & a_{1,2} &\cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n & a_{n, 2} & \cdots & a_{n,n}\end{array}\right) \\ \vdots \\ x_n = \det(A)^{-1} \cdot \det\left(\begin{array}{cccc}a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n, 1} & \cdots & a_{n,n-1} & b_n\end{array}\right) \end{array}\right. sono le componenti del vettore x \in \mathbb{K}^n \mid A x = b

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n, r, r' \in \mathbb{N} \mid r \lt r' \lt n
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
  • M_1 \in \textrm{Mat}_{r \times r}(\mathbb{K}) \mid M_1 minore di A \land \det(M_1) \neq 0
  1. \textrm{rk}(A)=r
  2. \forall M_1' orlato di M_1 \quad \det(M_1') = 0
  3. \forall M_2 \in \textrm{Mat}_{r' \times r'}(\mathbb{K}) \mid M_2 minore di A \quad \det(M_2) = 0
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \det(A)^{-1}=\det(A^{-1})

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \mid A simmetrica
  1. \textrm{sp}(A) \subset \mathbb{R}
  2. A diagonalizzabile
  3. \exists B^1, \ldots, B^n autovettori di A \mid B^1, \ldots, B^n base ortonormale di \mathbb{R}^n
  4. \exists B \in \textrm{O}(n) \mid B^{-1}AB diagonale
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti