• Gruppo diedrale

• n \in \mathbb{N}_{\ge 2}
• \mathcal{D}_n è l’insieme delle simmetrie dell’n-gono regolare, ed è detto gruppo diedrale di ordine n
  • è formato dall’insieme delle rotazioni che lasciano l’n-gono invariato, e delle riflessioni rispetto agli assi di simmetria
• \rho := rotazione di \frac{360°}{n} gradi di un n-gono regolare
• \sigma_i := riflessione rispetto all’i-esimo asse di simmetria dell’n-gono regolare

• Hp
  • n \in \mathbb{N}_{\ge 2}
  • \mathcal{D}_n insieme delle simmetrie dell’n-gono regolare
• Th
  • |\mathcal{D}_n| = 2n
• Dim
  • \rho := \frac{360°}{n} \impliesle rotazioni che lasciano l’n-gono invariato sono esattamente n
  • gli assi di simmetria di un n-gono sono n, dunque si hanno esattamente n possibili riflessioni
  • \mathcal{D}_n := \{\rho^0, \ldots, \rho^{n - 1}, \sigma_0, \ldots, \sigma_{n-1}\} \implies |\mathcal{D}_n| = 2n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}_{\ge 2}
  • \mathcal{D}_n insieme delle simmetrie dell’n-gono regolare
  • \cdot è l’operazione di composizione delle simmetrie
• Th
  • (\mathcal{D}_n, \cdot) è un gruppo
• Dim
  • la composizione di funzioni è associativa
  • \rho^0 = 1 = \textrm{id} è l’elemento neutro
  • \left\{\begin{array}{l}\rho^{i} \cdot \rho^{j}=\rho^{i+j \ (\bmod \ n)} \\ \sigma_{i} \cdot \sigma_{j}=\rho^{i-j \ (\bmod \ n)} \\ \rho^{i} \cdot \sigma_{j}=\sigma_{i+j \ (\bmod \ n)} \\ \sigma_{i} \cdot \rho^{j}=\sigma_{i-j \ (\bmod \ n)}\end{array}\right., dunque è possibile trovare l’inverso per ogni permutazione e simmetria utilizzando queste regole

• Hp
  • \mathcal{D}_2 gruppo diedrale
• Th
  • (\mathcal{D}_2, \cdot) è l’unico gruppo diedrale abeliano
• Dim
  • \mathcal{D}_2 = \{1, \rho, \sigma_0, \sigma_1\} \implies per le regole di composizione definite precedentemente \left\{\begin{array}{l}\rho^{0} \cdot \sigma_{0}=\sigma_{0+0 \ (\bmod \ 2)}=\sigma_{0}=\sigma_{0-0 \ (\bmod \ 2)}=\sigma_{0} \cdot \rho^{0} \quad i=j=0 \\ \rho^{0} \cdot \sigma_{1}=\sigma_{0+1 \ (\bmod \ 2)}=\sigma_{1}=\sigma_{1-0 \ (\bmod \ 2)}=\sigma_{1} \cdot \rho^{0} \quad i = 0, j = 1 \\ \rho^{1} \cdot \sigma_{0}=\sigma_{1+0 \ (\bmod \ 2 )}=\sigma_{1}=\sigma_{0-1 \ (\bmod \ 2 )}=\sigma_{0} \cdot \rho^1 \quad i = 1, j = 0 \\ \rho^{1} \cdot \sigma_{1}= \sigma_{1 + 1 \ (\bmod \ 2)} = \sigma_0 = \sigma_{1-1 \ (\bmod\ 2)} = \sigma_1 \cdot \rho ^1 \quad i = j = 1\end{array}\right., dunque il gruppo è abeliano
  • per le regole di composizione definite precedentemente, per n \ge 3 la commutatività non è sempre rispettata, quindi (\mathcal{D}_2, \cdot) è anche l’unico gruppo abeliano

• Hp
  • \mathcal{D}_n gruppo diedrale
• Th
  • \mathcal{D}_n \hookrightarrow \mathcal{S}_n
  • \exists \mathcal{X} \leqslant \mathcal{S}_n \mid \mathcal{D}_n \cong \mathcal{X}, e in particolare \mathcal{D}_3 \cong \mathcal{S}_3
• Dim
  • per ogni simmetria in \mathcal{D}_n, è possibile trovare l’unica permutazione equivalente in \mathcal{S}_n, e dunque è ben definita f: \mathcal{D}_n \rightarrow \mathcal{S}_n : \alpha \rightarrow \sigma_\alpha
    • esempio
      • per n = 3, numerando ogni vertice del triangolo equilatero, partendo dal vertice in basso a destra, si ottiene \left \{ \begin{array}{l} f(\rho^0)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1&2&3\end{array}\right)=\textrm{id} \\ f(\rho^1)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right) \\ f(\rho^2)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3&1&2\end{array}\right) \\ f(\sigma_0)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1&3&2\end{array}\right) \\ f(\sigma_1)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2&1&3\end{array}\right) \\ f(\sigma_2)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3&2&1\end{array}\right) \end{array} \right.
  • poiché la permutazione equivalente è unica, f iniettiva
  • allora \mathcal{D}_n \hookrightarrow \mathcal{S}_n, ovvero, l’inclusione è iniettiva ma non necessariamente suriettiva, infatti in generale si ha |\mathcal{D}_n| \le |\mathcal{S}_n|
  • ma per ragionamento analogo \exists \mathcal{X} \leqslant \mathcal{S}_n \ \big\vert \ |\mathcal{X}| = |\mathcal{D}_n| \implies f suriettiva \implies f biettiva
  • in particolare, \mathcal{D}_3 risulta essere il caso in cui \mathcal{X} = \mathcal{S}_n
  • \mathcal{D}_n \cong \mathcal{X}
    • siano \alpha, \beta \in \mathcal{D}_n, \sigma_\alpha, \sigma_\beta \in \mathcal{S}_n \mid \left \{ \begin{array}{l} f(\alpha)= \sigma_\alpha \\ f(\beta) = \sigma_\beta \\ \alpha, \sigma_\alpha: i \rightarrow j \\ \beta, \sigma_\beta : j \rightarrow k \end{array} \implies \beta \alpha, \sigma_\beta \sigma_\alpha : i \rightarrow k \right .
    • allora f(\beta \alpha) = \sigma_{\beta\alpha} = \sigma_\beta \sigma_\alpha= f(\beta ) f(\alpha) \iff f morfismo
      • in particolare, restringendo f: \mathcal{D}_n \rightarrow \mathcal{X} \implies f suriettiva \implies f isomorfismo
        • in particolare, \mathcal{D}_3 \cong \mathcal{S}_3

• Gruppo di Klein

• a, b, c \mid \left \{ \begin{array}{l} a^2=b^2=c^2=1 \\ ab=c=ba \\ ac=b=ca \\ cb=a=bc \end{array} \right.
• \mathcal{K}_4 := \{1, a, b, c\} è detto gruppo di Klein
  • in particolare \left \{ \begin{array}{l} o(1) = 1 \\ o(a) = o(b) = o(c) = 2 \end{array} \right .
  • in particolare, presi 3 elementi in \mathcal{K}_4 - \{1\}, moltiplicandone due tra loro si ottiene il terzo

• Hp
  • \mathcal{K}_4 è il gruppo di Klein
• Th
  • \mathcal{K}_4 \cong \mathcal{D}_2
• Dim
  • \mathcal{K}_4:=\{1, a, b, c\}
  • \mathcal{D}_2 = \{1, \rho, \sigma_0, \sigma_1\}, allora associando gli elementi a=\rho, b= \sigma_0, c= \sigma_1 si ottiene lo stesso gruppo

• Hp
  • G gruppo \bigg\vert |G|=4
• Th
  • G \cong \mathbb{Z}_4 \lor G \cong \mathcal{K}_4
• Dim
  • \forall a \in G - \{1\} \quadper il teorema di Lagrange o(a) \bigg\vert |G| \implies o(a)=1 \lor o(a) =2 \lor o(a) = 4
  • a \neq 1 \implies o(a) \neq 1 \implies o(a) = 2 \lor o(a) = 4
  • se o(a)=4 \implies G cicliico \implies G \cong \mathbb{Z}_4
  • in particolare \exists x \in G \mid o(x) = 4 = |G| \iff G ciclico, allora è necessario studiare il caso in cui G non ciclico \iff \nexists x \in G \mid o(x) = 4 \implies \forall x \in G - \{1\} \quad o(x) = 2 per ragionamento precedente \implies G = \{1, a, b, c\}, dove o(a)=o(b)=o(c)=2 \implies a^2=b^2=c^2=1 \implies\left\{\begin{array}{l}a=a^{-1} \\ b=b^{-1} \\ c=c^{-1}\end{array}\right.
  • siano a, b, x \in G \mid ab = x per un certo elemento x = 1 \lor x = a \lor x = b \lor x = c, allora si ha che \left \{ \begin{array}{l} ab = 1 \implies b = a^{-1} = a \ \bot \\ ab = a \implies b = 1 \ \bot \\ ab = b \implies a = 1 \ \bot \end{array} \right. \implies ab = c necessariamente
  • il ragionamento è analogo per tutti gli altri prodotti, il che dimostra che presi 3 elementi in G - \{1\}, moltiplicandone due tra loro si ottiene il terzo \implies G \cong \mathcal{K}_4

• Hp
  • G gruppo \bigg\vert |G| = 6
• Th
  • G \cong \mathbb{Z}_6 \lor G \cong \mathcal{S}_3
• Dim
  • ⚠️ manca la dimostrazione