• Semigruppo

• S insieme
• m: S \times S \rightarrow S
• (S, m) è detto semigruppo \iff \forall x, y, z \in S \quad m(x, m(y, z))=m(m(x, y),z) \quad
  • in particolare, deve valere la proprietà associativa

• Monoide

• S insieme
• m: S \times S \rightarrow S
• (S, m) è detto monoide \iff
  • (S, m) semigruppo
  • \exists e \in S \mid \forall x \in S \quad m(x, e) = m(e, x) = x
    • in particolare, deve esistere l’elemento neutro

• Gruppo

• S insieme
• m: S \times S \rightarrow S
• (S, m) è detto gruppo \iff
  • (S, m) monoide
  • \forall x \in S \quad \exists x^{-1} \in S \mid m(x, x^{-1}) =m(x^{-1}, x) =e
    • in particolare, per ogni elemento deve esistere l’inverso

• Gruppo abeliano

• S insieme
• m: S \times S \rightarrow S
• (S, m) è detto gruppo abeliano \iff
  • (S,m) gruppo
  • \forall x, y \in S \quad m(x, y) = m(y, x)
    • in particolare, deve valere la proprietà commutativa

• Hp
  • G monoide
• Th
  • e \in G elemento neutro è unico in G
• Dim
  • per assurdo, ipotizzando \exists e_1, e_2 \in G \mid e_1 \neq e_2 elementi neutri, allora \left.\begin{array}{l}m\left(x, e_{1}\right)=m\left(e_{1}, x\right)=x \\ m\left(x, e_{2}\right)=m\left(e_{2}, x\right)=x\end{array}\right\} \implies m\left(e_{1}, x\right)=m\left(e_{2}, x\right) \implies e_1=e_2 necessariamente, quindi è unico

• Hp
  • (G, m) gruppo
• Th
  • \forall x \in G \quad x^{-1} è unico in G, rispetto a m
• Dim
  • per assurdo, ipotizzando che per un certo x \in G \quad \exists x^{-1}_1, x^{-1}_2 \mid x^{-1}_1 \neq x^{-1}_2, allora \left.\begin{array}{l}m\left(x, x_{1}^{-1}\right)=m\left(x_{1}^{-1}, x\right)=e \\ m\left(x, x_{2}^{-1}\right)=m\left(x_{2}^{-1}, x\right)=e \end{array}\right\} \implies m\left(x_{1}^{-1}, x\right)=m\left(x_{2}^{-1}, x\right) \implies x_1^{-1}=x_2^{-1} necessariamente, quindi è unico

• Hp
  • X, Y insiemi,
  • Y^X := \{f \mid f:X \rightarrow Y\}
• Th
  • (X^X, \circ) è monoide
• Dim
  • \forall f, g, h \in Y^X \quad (f \circ g) \circ h=f \circ(g \circ h). poiché la composizione di funzioni è associativa
  • \textrm{id}_X \mid \textrm{id}_X : X \rightarrow X : x \rightarrow x, è detta funzione identità, che costituisce dunque l’elemento neutro, mappando ogni elemento in sé stesso

• Hp
  • X, Y insiemi finiti
• Th
  • \left| Y^X \right| = \left| Y \right| ^ {|X|}

• Anello

• A insieme
• +: A \times A \rightarrow A
• \cdot: A \times A \rightarrow A
• (A, +, \cdot) è detto anello \iff
  • (A, +) gruppo abeliano
  • (A, \cdot) monoide
  • \forall a, b, c \in A \quad a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
    • in particolare, deve valere la proprietà distributiva a destra

• Anello commutativo

• A insieme
• +: A \times A \rightarrow A
• \cdot: A \times A \rightarrow A
• (A, +, \cdot) è detto anello commutativo \iff
  • (A, +, \cdot) anello
  • \forall a, b \in A \quad a \cdot b=b \cdot a
    • in particolare, deve valere la proprietà commutativa

• Campo

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• (A, +, \cdot) è detto campo \iff \forall x \in A - \{0\} \quad \exists x^{-1} \in A rispetto a \cdot

• Semianello commutativo

• A insieme
• +: A \times A \rightarrow A
• \cdot: A \times A \rightarrow A
• (A, +, \cdot) è detto semianello commutativo \iff
  • (A, +) monide commutativo
  • (A, \cdot) monoide commutativo
  • \forall a, b, c \in A \quad a\cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
    • in particolare, deve valere la proprietà distributiva a sinistra

• Invertibili

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• a \in A è detto invertibile \iff \exists a^{-1} \in A \mid a \cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a = e, dove e è l’elemento neutro dell’anello rispetto a \cdot
• A^* := \{a \in A \mid a invertibile\} è detto insieme degli invertibili di A

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello
• Th
  • (A^*, \cdot) è un gruppo
• Dim
  • (xy)z = x(yz)
  • 1^{-1} = 1 \implies 1 invertibile \implies 1 \in A^* per definizione di A^*
  • \forall x \in A^{*} \quad \exists x^{-1} per definizione di A^*, ma poiché x^{-1} è inverso di x, allora x^{-1} \in A^* per definizione
    • x \in A^* \iff x, x^{-1} \in A^*

• Divisori dello 0

• (A, + , \cdot) anello commutativo
• a \in A è detto divisore dello 0 \iff \exists b \in A - \{0\} \mid a \cdot b = 0

• Dominio di integrità

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• A è detto dominio di integrità \iff \nexists x \in A - \{0\} : x \mid 0
  • in particolare, A è dominio di integrità \iff in A vale la legge di annullamento del prodotto

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
• Th
  • x \mid 0 \implies x \notin A^*
• Dim
  • per assurdo, ipotizzando \exists a \in A \mid a divisore dello 0 e invertibile, allora \exists a^{-1} \in A, b \in A - \{0\} \mid a^{-1}a = 1 \land ab = 0
  • b = 1 \cdot b = (a^{-1} a)\cdot b = a^{-1}\cdot(ab)=a^{-1}\cdot 0= 0 \ \bot

• Hp
  • A campo
• Th
  • A dominio di integrità
• Dim
  • A campo \implies in A ogni elemento non nullo è invertibile, dunque A^*=A - \{0\} \implies \forall a \in A - \{0\} \quad a \in A^* \implies a \nmid 0, il che implica che A è dominio di integrità per definizione

• Elemento irriducibile

• A anello commutativo
• a \in A - \{0\} \mid a \notin A^*
• a è detto irriducibile \iff \exists b, c \in A \mid a = b c \implies b \in A^* \lor c \in A^*

• Elemento primo

• A anello commutativo
• a \in A - \{0\} \mid a \notin A^*
• a è detto primo \iff \exists b, c \in A : a \mid bc \implies a \mid b \lor a \mid c

• Interi primi

• \mathbb{P} := \{p \in \mathbb{N} - \{0, 1\} \mid \nexists y \in \mathbb{N} - \{1, p\} : y \mid p\} è detto insieme degli interi primi
  • si noti che \mathbb{P} non coincide necessariamente con gli elementi primi

• Hp
  • p \in \mathbb{P}
• Th
  • p primo
• Dim
  • siano a, b \in \mathbb{Z} : p \mid ab \implies p è nella fattorizzazione di ab \implies o p è nella fattorizzazione di a, e quindi p \mid a, oppure p è nella fattorizzazione di b, e quindi p \mid b, e dunque p primo

• Hp
  • A dominio di integrità
  • a \in A \mid a primo
• Th
  • a irriducibile
• Dim
  • si supponga \exists b, c \in A \mid a = bc
  • per ipotesi a primo, dunque per definizione \exists b, c \in A : a \mid bc \implies a \mid b \lor a \mid c, ma poiché a \mid a = bc, allora i coefficienti moltiplicativi sono proprio gli stessi che compongono a
  • prendendo ad esempio a \mid b \implies \exists d \in A \mid ad = b \implies a = bc \iff a = adc \iff a \cdot( 1 - dc ) = 0
  • A dominio di integrità per ipotesi, e dunque in esso vale la legge di annullamento del prodotto
  • per definizione a primo \implies a \neq 0 \implies 1 - cd = 0 \iff -cd = -1 \iff cd = 1, che per definizione implica che d è l’inverso di c, e dunque c \in A^*
  • dunque, avendo preso un numero primo in ipotesi che si potesse scrivere come prodotto di altri due numeri nel dominio, si è ottenuta la definizione di irriducibilità di un elemento

• Hp
  • a \in \mathbb{Z}_{\ge 2} \mid a irriducibile
• Th
  • a \in \mathbb{P}
• Dim
  • a irriducibile \iff \exists b, c \in A \mid a = bc \implies b \in \mathbb{Z}^* \lor c \in \mathbb{Z}^*
  • inoltre \mathbb{Z}^* = \{+1, -1\} poiché sono gli unici elementi invertibili rispetto a \cdot sono \pm 1
  • allora a = bc \implies \left \{ \begin{array}{l}b = \pm 1 \\ c = a \end{array}\right. \lor \left \{ \begin{array}{l} b = a \\ c = \pm 1 \end{array} \right. \lor \left \{ \begin{array}{l} b = \pm 1 \\ c = \pm \end{array} \right.
  • per i primi due casi, si ha che a \in \mathbb{P}, per l’ultimo caso si avrebbe bc = a = \pm 1, ma a \in \mathbb{Z}_{\ge 2} \ \bot
    • si noti che \mathbb{P} \subset \mathbb{N}, dunque nel caso di -1 si tratta di “estendere” la definizione di \mathbb{P} \subset \mathbb{Z}

• Sottogruppo

• G insieme
• H \subseteq G
• \cdot: G \times G \rightarrow G
• (G, \cdot) gruppo
• (H, \cdot) \leqslant (G, \cdot) è detto sottogruppo \iff
  • \exists e \in H \mid e è l’elemento neutro di G rispetto a \cdot
  • H \cdot H \subseteq H
    • in particolare, deve essere chiuso sull’operazione
  • \forall x \in H \quad \exists x^{-1} \in H
    • in particolare, deve essere chiuso sugli inversi

• Hp
  • (A, \cdot) gruppo
• Th
  • (A^*, \cdot) \leqslant (A, \cdot)
• Dim
  • esiste il neutro per dimostrazione precedente
  • \forall x, y \in A^{*} \quad \exists x^{-1}, y^{-1} \in A^*, e in particolare y^{-1}x^{-1} = (xy)^{-1} \implies xy \in A^* per definizione
  • è chiuso rispetto agli inversi per dimostrazione precedente

• Sottoanello

• A insieme
• B \subseteq A
• +: A \times A \rightarrow A
• (A, +, \cdot) anello
• \cdot: A \times A \rightarrow A
• (B, + , \cdot) \leqslant (A, +, \cdot) è detto sottoanello \iff
  • (B, +) \leqslant (A, +)
  • B \cdot B \subseteq B
    • in particolare B \cdot B := \{b_1 \cdot b_2 \mid b_1, b_2 \in B\}

• Sottogruppo normale

• (G, \cdot) gruppo
• (H, \cdot) \leqslant (G, \cdot)
• x \in G
• xH := \{xh \mid h \in H\}
• Hx := \{hx \mid h \in H\}
• H \trianglelefteq G è detto sottogruppo normale \iff \forall x \in G \quad xH = Hx

• Hp
  • G gruppo
  1. H \trianglelefteq G
  2. \forall g \in G, h \in H \quad g \cdot h \cdot g^{-1} \in H
  3. \forall g \in G, h \in H \quad \exists k \in H \mid g \cdot h = k \cdot g
• Th
  • le proposizioni sono equivalenti
• Dim
  • 1 \implies 3
    • gH = Hg per ipotesi 1 \implies gH = Hg = \{kg \mid k \in H\} \implies \exists k \in H \mid gh = kg per definizione di Hg
  • 3 \implies 2
    • \forall g \in G, h \in H \quad \exists k \in H \mid gh = kg per ipotesi 3
    • gh = kg \iff g h g^{-1} =k g g^{-1} \iff k = ghg^{-1}, ma k \in H per ipotesi, dunque ghg^{-1} \in H
  • 2 \implies 1
    • gH = Hg \iff gH \subseteq Hg \land Hg \subseteq gH
    • prima implicazione
      • k:= ghg^{-1} \in H per ipotesi 2
      • k = ghg^{-1} \iff k g= ghg^{-1}g \iff kg = gh, e in particolare kg \in Hg e gh \in gH
    • seconda implicazione
      • \forall g^{-1} \in G \quad \exists h \in H \mid h:= g^{-1}k(g^{-1})^{-1} \in H per ipotesi 2
      • g^{-1}kg = h \iff gg^{-1}kg = gh \iff kg = gh \in gH
      • k \in H \implies kg \in Hg, ma kg = gh \implies kg \in gH

• Ordine di un elemento

• G gruppo
• g \in G
• H(g):=\left\{g^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} è detto sottogruppo ciclico
  • prende il nome di sottogruppo ciclico poiché, a seconda del gruppo, le potenze di g possono essere infinite o finite, ma quest’ultimo caso si verifica esclusivamente quando le potenze ciclano su loro stesse
• o(g):= |H(g)| è detto ordine di g
  • tale valore può dunque essere infinito o finito, e in quest’ultimo caso l’ordine costituisce il valore più piccolo, non nullo, per cui g^{o(g)} = e, poiché per valori maggiori le potenze cicleranno infinitamente

• Hp
  • (G, +) gruppo
  • g \in G
• Th
  • (H(g), +) \leqslant (G, +)
• Dim
  • 0 = 0 \cdot g \implies 0 \in H(g)
  • \forall xg, yg \in H(g) \quad xg + yg = (x + y)g \in H(g)
  • \forall xg \in H(g) \quad -xg = (-x)g \in H(g)

• Hp
  • (G, \cdot) gruppo
  • g \in G
• Th
  • (H(g), \cdot) \leqslant (G, \cdot)
• Dim
  • e=g^{0} \implies e \in H(g)
  • \forall m, n \in \mathbb{Z} \quad m + n \in \mathbb{Z} \implies g^m \cdot g^n = g^{m + n} \in H(g)
  • \forall n \in \mathbb{Z} \quad -n \in \mathbb{Z} \implies (g^n)^{-1} = g^{-n} \in H(g)

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G
  • I(g):=\{n \in \mathbb{Z} \mid g^n = e\}
• Th
  • I(g) è un ideale
• Dim
  • (I(g), +) \leqslant (\mathbb{Z}, +)
    • 0 \in \mathbb{Z} \land g^{0}=e \implies 0 \in I(g)
    • m, n \in \mathbb{Z} \mid g^{m}=g^{n}=e \implies g^{m} \cdot g^{n}= g^{m + n} \iff e \cdot e = e \implies m +n \in I(g) per definizoine di I(g), quindi I(g) + I(g) \subseteq I(g)
    • n \in I(g) \mid g^n = e \iff (g^n)^{-1} = e ^{-1 } \iff g^{-n} =e \implies -n \in I(g)
  • \forall n \in I(g), k \in \mathbb{Z} \quad g^{n \cdot k} = (g^n)^k = e^k = e \implies n \cdot k \in I(g)

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G
  • \exists! d \in I(g)_{\ge 0} \mid I(g)=I(d)
• Th
  • d = 0 \implies o(g) = |\mathbb{Z}| = + \infty
  • d>0 \implies d = o(g), e questo implica che in I(g) sono presenti tutti i multipli di o(g)
• Dim
  • d = 0
    • sia f: \mathbb{Z} \rightarrow H(g) : n \rightarrow g^n
    • f iniettiva \iff \forall m, n \in \mathbb{Z} \quad g^n =g^m \implies n = m
    • m, n \in \mathbb{Z} \mid g^m = g^n \implies g^{-m} \cdot g^m=g^{-m} \cdot g^n \iff e = g^{n - m} \implies n - m \in I(g) = I(d) \implies d \mid n - m
    • d = 0 \implies 0 \mid n - m \iff n -m = 0 \iff n = m, di conseguenza g^m = g^n \implies n = m
    • la suriettività di f è data al fatto che l’immagine di f coincide con H(g)
    • f biettiva \implies o(g) := |H(g)| = |\mathbb{Z}| = + \infty
  • d \gt 0
    • |H(g)| \le d, ovvero g ha al massimo d potenze
      • d \in I(g)_{\ge 0} \implies g^d = e
      • d \gt 0 \implies \forall n \in \mathbb{Z} \quad \exists q, r \in \mathbb{Z} \mid n = dq + r \quad 0 \le r \lt d per il teorema della divisione euclidea con il resto, dunque g^n = g^{dq +r}=(g^d)^q \cdot g^r=e^q \cdot g^r =e \cdot g^r = g^r
      • 0 \le r \lt d \implies ci sono al massimo d valori per g^r, e poiché g^r = g^n, allora g ha al massimo d potenze
    • |H(g)| \ge d, ovvero g ha al minimo d potenze
      • \forall x, y \in \mathbb{Z} \mid 0 \le x, y \lt d \quad g^x = g^y \iff g^x \cdot g^{-y} = e \iff g^{x - y} = e \iff x- y \in I(g) = I(d) \iff \exists k \in \mathbb{Z} \mid x - y = dk
      • 0 \le x, y \lt d \implies -d \lt x - y \lt d \implies x - y = 0 \iff x = y, allora f:[0,d) \rightarrow H(g) è iniettiva, e dunque g ha almeno d potenze
    • di conseguenza, si ottiene che H(g) = \{g^0, g^1, \ldots, g^{d-1}\} \implies |H(g)|=d

• Hp
  • (G, \cdot) gruppo finito
  • g \in G \mid d := o(g) finito
• Th
  • g^{|G|}=e
• Dim
  • I(d) = I(g), allora d \in I(d) \implies d \in I(g) \implies g^d = e
  • d = o(g) = |H(g)| \bigg\vert |G| per il teorema di Lagrange, e dunque \exists k \in \mathbb{Z} : |G|=d \cdot k \implies g^{|G|} = g^{d \cdot k} = (g^d)^k = e^k = e

• Hp
  • G gruppo finito
  • g \in G
• Th
  • o(g) = o(g^{-1})
• Dim
  • H(g) \subseteq H(g^{-1})
    • \forall g^n \in H(g) \quad g^n = (g^{-1})^{-n} \implies g^n \in H(g^{-1})
  • H(g^{-1}) \subseteq H(g)
    • \forall (g^{-1})^n \in H(g^{-1}) \quad (g^{-1})^n=g^{-n} \implies (g^{-1})^n \in H(g)
  • dunque H(g) = H(g^n) \implies o(g) = |H(g)| = |H(g^{-1})| = o(g^{-1})

• Hp
  • G gruppo finito
  • g \in G
  • k \in \mathbb{Z}
• Th
  • o(g^k) \mid o(g)
• Dim
  • \forall (g^k)^n \in H(g^k) \quad (g^k)^n = g^{nk} \implies g^{nk} \in H(g) \implies H(g^k) \subseteq H(g)
  • (H(g^k), \cdot) \leqslant (H(g), \cdot)
    • (g^k)^0 = g^0 =e \implies e \in H(g)
    • \forall (g^k)^x, (g^k)^y \in H(g^k) \quad (g^k)^x \cdot (g^k)^y = g^{kx} \cdot g^{ky} = g^{k(x + y)} = (g^k)^{x + y} \in H(g^k)
    • \forall (g^k)^x \in H(g^k) \quad (g^k)^{-x} \in H(g^k)
  • allora, per il teorema di Lagrange si ha che o(g^k) = | H(g^k)| \bigg\vert |H(g)| = o(g)

• Hp
  • G gruppo finito
  • g, h \in G \mid gh = hg
  • d := \textrm{MCD}(o(g), o(h))
  • m := \textrm{mcm}(o(g), o(h))
• Th
  • \dfrac{m}{d} \mid o(gh) \land o(gh) \mid m
• Dim
  • ⚠️ manca dimostrazione

• Hp
  • G gruppo finito
  • g, h \in G \mid gh = hg
  • d := \textrm{MCD}(o(g), o(h)) = 1
  • m := \textrm{mcm}(o(g), o(h))
• Th
  • o(gh) = o(hg) = m
• Dim
  • per dimostrazione precedente, d = 1 \implies m \mid o(gh) \land o(gh) \mid m \implies m = o(gh)

• Gruppo ciclico

• G gruppo
• G è detto ciclico \iff \exists g \in G \mid H(g) = G
  • ovvero, G è l’insieme delle potenze di g

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G \mid o(g) = |G|
• Th
  • G ciclico
• Dim
  • \left .\begin{array}{l} H(g) \leqslant G \implies H(g) \subseteq G \\ o(g) := |H(g)| = |G| \end{array} \right \} \implies G = H(g) \implies G ciclico

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G
• Th
  • H(g) \cong \left \{ \begin{array}{ll} \mathbb{Z} & o(g) = + \infty \\ \mathbb{Z}_d & o(g) = d\end{array} \right.
• Dim
  • sia f: \mathbb{Z} \rightarrow H(g): n \rightarrow g^n
  • \forall n, m \in \mathbb{Z} \quad f(n + m) = g^{n + m} = g^n \cdot g^m = f(n) \cdot f(m) \iff f morfismo di gruppi tra (\mathbb{Z}, +) e (H(g), \cdot)
  • \ker(f) := \{n \in \mathbb{Z} \mid f(n) = g^n = 1_{H(g)}\} =: I(g)
  • allora \mathbb{Z} / I(g) = \mathbb{Z} / \ker(f) \cong \textrm{im}(f) per il teorema di isomorfismo
  • \textrm{im}(f) := \{g^n \in H(g) \mid \exists n \in \mathbb{Z} : f(n) = g^n\} =: H(g)
  • per dimostrazione precedente \exists ! d \in I(g)_{\ge 0} \mid I(g) = I(d), dove \left \{ \begin{array}{l} d = 0 \implies o(g) = + \infty \\ d \gt 0 \implies o(g) = d \end{array} \right.
  • allora H(g) = \textrm{im}(f) \cong \mathbb{Z}/ \ker(f) = \mathbb{Z}/I(d) = \mathbb{Z}_d
  • in particolare d = 0 \implies \mathbb{Z}/I(0) =: \mathbb{Z}_0 \cong H(g)
  • considerando \mathbb{Z}_0, si ha che \forall x, y \in \mathbb{Z} \quad x \sim_S y \iff y - x \in I(0) \iff \exists k \in \mathbb{Z} \mid y - x = 0 \cdot k = 0 \iff x = y, dunque \mathbb{Z}_0 conterrà esclusivamente classi laterali di singoli elementi, allora \pi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_0: x \rightarrow [x] è biettiva, e per come è definito + in \mathbb{Z}_0 è anche morfismo
  • allora poiché \pi isomorfismo, si ha che \mathbb{Z}_0 \cong \mathbb{Z}, allora per transitività di \cong si ha che d = 0 \implies H(g) \cong \mathbb{Z}_0 \land \mathbb{Z}_0 \cong \mathbb{Z} \implies H(g) \cong \mathbb{Z}
  • allora H(g) \cong \left \{ \begin{array}{ll} \mathbb{Z} & o(g) = + \infty \\ \mathbb{Z}_d & o(g) = d\end{array} \right.

• Hp
  • G gruppo \big\vert p := |G| \in \mathbb{P}
• Th
  • G \cong \mathbb{Z}_p
• Dim
  • \forall g \in G \quad |H(g)| \bigg\vert |G| per il teorema di Lagrange
  • p \in \mathbb{P} \implies |H(g)| = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & g = 1_G \\ p & g \neq 1_G \end{array} \right. \implies \forall g \in G - \{1_G\} \quad |H(g)| = p =|G| \implies G = H(g) \cong \mathbb{Z}_p per dimostrazione precedente

• Hp
  • G gruppo ciclico
• Th
  • G \cong \mathbb{Z}_{|G|}
• Dim
  • G ciclico \iff \exists g \in G \mid G = H(g) \cong \mathbb{Z}_{o(g)}= \mathbb{Z}_{|G|}