• Ideali

• (A, +, \cdot) anello
• I \subset A è detto ideale \iff
  • (I, +) \leqslant (A, +)
  • A \cdot I \subseteq I
  • I \cdot A \subseteq I

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
  • a \in A
  • I(a) := \{ax \mid x \in A\}
• Th
  • I(a) è un ideale, e prende il nome di ideale di A generato da a
• Dim
  • (I(a), + ) \leqslant (A, +)
    • 0 multiplo di a \implies 0 \in I(a)
    • \forall ax, ay \in I(a) \quad ax + ay = a(x + y) \implies ax + ay \in I(a) per definizione
    • \forall ax \in I(a) \quad a(-x) \in I(a) poiché -x è un multiplo di a, e a(-x) = -ax \in I(a), che corrisponde all’opposto di ax rispetto a +
  • A \cdot I \subseteq I \iff \forall x \in I(a), b \in A \quad bx \in I(a)
    • x \in I(a) \iff \exists c \in A \mid x = ac \implies bx = b (ac) = a(bc), poiché il prodotto è commutativo, e dunque bx \in I(a) per definizione
  • poiché il prodotto è commutativo, A \cdot I \subseteq I \implies I \cdot A \subseteq I

• Hp
  • A dominio di integrità
  • a, b \in A
• Th
  • I(a)=I(b) \iff \exists c \in A^* \mid a = bc
• Dim
  • prima implicazione
    • I(a) = I(b) in ipotesi
      • a \in I(a) = I(b) \implies b \mid a \implies \exists c \in A \mid a = bc
      • b \in I(b) = I(a) \implies a \mid b \implies \exists d \in A \mid b = da
    • allora a = bc \iff a = da \cdot c = a \cdot cd \iff a - acd = 0 \iff a(1 - cd) = 0
    • A dominio \implies in A vale la legge di annullamento del prodotto, dunque a(1 - cd) = 0 \iff a = 0 \lor 1 - cd = 0
      • a = 0 \implies b = da = 0, ma allora a, b = 0 \implies a = 0 = 0 \cdot 1 = b \cdot 1, e ponendo c:= 1 è vero che a = bc
        • in particolare, c := 1 \implies \exists c^{-1} = 1^{-1} = 1
      • 1 - cd = 0 \iff -cd = -1 \iff cd = 1, dunque d è l’inverso di c
  • seconda implicazione
    • \exists c \in A^* \mid a= bc \implies b \mid a \implies a \in I(b) \implies I(a) \subseteq I(b)
    • c \in A^* \implies \exists c^{-1} \in A, dunque a = bc \iff a \cdot c^{-1} = b \implies a \mid b \implies b \in I(a) \implies I(b) \subseteq I(a)
    • allora I(a) = I(b)

• Hp
  • a, b \in \mathbb{Z} - \{0\}
• Th
  • I(a)=I(b) \iff a=\pm b
• Dim
  • prima implicazione
    • I(a) = I(b) \iff a \in I(b) \land b \in I(a) \implies \exists p, q \in \mathbb{Z} \mid a = pb \wedge b = qa, di conseguenza b = q (pb) \implies b = (qp)b \implies pq = 1 \iff p = q = 1 \lor p = q = -1 \implies a = \pm b
  • seconda implicazione
    • a = b \implies I(a) e I(b) coincidono
    • a = -b \implies I(-b) = \{ k(-b) \mid k \in \mathbb{Z}\} = \{(-k)b \mid (-k) \in \mathbb{Z}\} = I(b) = I(-b)=I(a)

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello
  • a_1, \ldots, a_n \in\mathbb{Z}
  • I(a_1, \ldots, a_n) := \{ a_1b_1 + \ldots +a_nb_n \mid b_1, \ldots, b_n \in A\}
• Th
  • I(a_1, \ldots, a_n) è un ideale, e prende il nome di ideale di A generato dagli a_1, \ldots, a_n \in A
• Dim
  • (I(a_1, \ldots, a_n) , +) \leqslant (A, +)
    • 0 = a_1 \cdot 0 + \ldots + a_n \cdot 0 \in I(a_1, \ldots a_n), dunque 0 è l’elemento neutro
    • \forall x, y \in I(a_1, \ldots, a_n) \quad x = a_1b_1 + \ldots +a_nb_n \land y = a_1c_1 + \ldots+ a_nc_n \implies x+ y = a_1b_1 + \ldots + a_nb_n + a_1c_1 + \ldots +a_nc_n, che è possibile riscrivere come x + y = a_1(b_1 + c_1) + \ldots + a_n(b_n + c_n), che per definizione implica che x + y \in I(a_1, \ldots, a_n)
    • \forall x \in I(a_1, \ldots, a_n) \quad x = a_1b_1 + \ldots + a_nb_n \iff -x = -a_1b_1 - \ldots - a_nb_n \iff -x = a_1(-b_1) + \ldots + a_n(-b_n), che per definizione implica che -x \in I(a_1, \ldots, a_n)
  • \forall x \in I(a_1, \ldots, a_n), c \in A \quad x = a_1b_1 + \ldots + a_nb_n \implies c \cdot x = a_1 (b_1c)+ \ldots + a_n(b_nc), che per definizione implica che cx \in I(a_1, \ldots, a_n)

• Dominio ad ideali principali

• A dominio di integrità
• A è detto ad ideali principali \iff \forall I \subset A ideale\quad \exists d \in I \mid I = I(d)

• Hp
  • I \subset \mathbb{Z} ideale
• Th
  • \exists d \in I \mid I = I(d), o equivalentemente, in \mathbb{Z} ogni ideale è principale
• Dim
  • d = 0 \implies I = \{0\} \implies I = I(0) poiché i multipli di 0 sono tutti pari a 0
  • se invece I \neq \{0\} \implies I \cap \mathbb{Z}_{>0} \neq \varnothing, dunque I contiene almeno un numero non nullo, in particolare positivo, ed è possibile considerare solo il caso dei positivi in quanto \forall x \in I - \{0\} \quad -x \in I, dunque per valori negativi è sufficiente considerare il loro opposto
  • allora, ha senso considerare d:=\min(I \cap \mathbb{Z}_{\gt 0}), che esiste per principio del minimo numero
  • d \gt 0
    • I(d)=I \implies I(d) \subseteq I \wedge I \subseteq I(d)
      • I(d) \subseteq I
        • \forall x \in I(d) \quad \exists y \in \mathbb{Z} \mid x = dy per definizione
        • I \subset \mathbb{Z} ideale \implies I \cdot \mathbb{Z} \subset I
        • d := \min(I \cap \mathbb{Z}_{\gt 0}) \implies d \in I \implies y \in \mathbb{Z} \land d \in I \implies dy \in I \implies x \in I \implies I(d) \subseteq I
      • I \subseteq I(d)
        • d := \min(I \cap \mathbb{Z}_{\gt 0}) \implies d \neq 0
        • per il teorema della divisione euclidea con il resto \forall x \in I \quad \exists ! q,r \in \mathbb{Z} \mid x=d q+r \quad 0 \leq r<d
          • r = 0 \iff x = dq \implies x \in I(d) per definizione, dunque I \subseteq I(d)
          • ipotizzando r \neq 0
            • dq \in I(d) \implies dq \in I per dimostrazione precedente
            • quindi x = dq + r \implies r = x - dq \in I poiché I è un ideale
            • r \neq 0 \implies r \in I \cap \mathbb{Z}_{\gt 0}
            • per definizione, 0 \le r \lt d, in particolare r \lt d, ma poiché d:=\min(I \cap \mathbb{Z}_{\gt 0}) necessariamente r = 0 \implies x = dq \in I(d)
  • dunque, ogni ideale in \mathbb{Z} è generato dall’insieme dei multipli di un certo d nell’ideale, di conseguenza \mathbb{Z} è un anello ad ideali principali

• Massimo Comun Divisore

• a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb{Z}
• \exists !d \in \mathbb{N} \mid I\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)=I(d), ed è detto massimo comun divisore degli a_1, \ldots, a_n
  • poiché \mathbb{Z} è dominio ad ideali principali, \exists d \in I(a_1, \ldots, a_n) \mid I(a_1, \ldots, a_n) = I(d), poiché I(a_1, \ldots, a_n) è ideale per dimostrazione precedente
  • allora considerando la definizione canonica di d :=\textrm{MCD}(a_1, \ldots, a_n) in cui d \ge0, si ha che d \in \mathbb{N} è unico
  • in particolare, d \in \mathbb{Z} non è unico poiché I(d) = I(-d)

• Hp
  • a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}
  • \exists ! d \in \mathbb{N} \mid I(d) = I(a_1, \ldots, a_n)
• Th
  • d = \textrm{MCD}(a_1, \ldots, a_n)
• Dim
  • d è divisore comune
    • a_1 = a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 0 + \ldots + a_n \cdot 0 \in I(a_1, \ldots, a_n) = I(d) \implies d \mid a_1
    • vale il ragionamento analogo per ogni a_1, \ldots , a_n, dunque d \mid a_1, \ldots, a_n
  • d è il massimo tra i divisori comuni
    • d è il massimo tra i divisori comuni se \forall k \in \mathbb{Z}: k \mid a_1, \ldots, a_n \quad k \mid d
    • \forall i \in [1, n] \quad k \mid a_i \iff \exists x_i \in \mathbb{Z} \mid kx_i = a_i
    • d \in I(d) = I(a_1, \ldots, a_n) \iff d \in I(a_1, \ldots, a_n) \implies \exists b_1, \ldots b_n \in \mathbb{Z} \mid d = a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n, e per osservazione precedente si ottiene che d = kx_1b_1 + \ldots + kx_nb_n = k(b_1x_1 + \ldots + b_nx_n) \implies k \mid d

• Hp
  • a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}
  • d := \textrm{MCD}(a_1, \ldots, a_n)
• Th
  • \exists x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{Z} \mid a_1 x_1 + \ldots + a_nx_n=d, che prende il nome di identità di Bézout
• Dim
  • per dimostrazione precedente, I(a_{1}, \ldots a_{n})=I(d), quindi d \in I(a_1, \ldots, a_n) \implies \exists x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{Z} \mid a_1x_1 + \ldots + a_n x_n = d

• + tra ideali

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• I, J \subset A ideali
• I + J = \{i + j \mid i \in I, j \in J\} è detta somma tra I e J

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
  • I, J \subset A ideali
• Th
  • I + J è un ideale
• Dim
  • 0 \in I, J \implies 0+0=0 \in I + J
  • la chiusura rispetto a + deve implicare che \forall i_1, i_2 \in I, j_1, j_2 \in J \quad (i_1 + j_1) + (i_2 + j_2) \in I + J, allora si ottiene che (i_1 + j_1) + (i_2 + j_2) = (i_1 + i_2) + (j_1 + j_2), e inoltre i_1 + i_2 \in I, j_1 + j_2 \in J
  • i + j \in I + J \implies i \in I \land j \in J \implies -i \in I \land -j \in J \implies (-i) + (-j) = - (i + j) \in I + J
  • a \in A, i + j \in I + J \implies ai \in I \land aj \in J \implies ai + aj = a(i + j) \in I + J \implies A \cdot I \subseteq I
    • vale anche per I \cdot A \subseteq I poiché (A, + , \cdot) anello commutativo

• \cap tra ideali

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• I, J \subset A ideali
• I \cap J = \{x \mid x \in I \land x \in J\} è detta intersezione tra I e J

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
  • I, J \subset A ideali
• Th
  • I \cap J è un ideale
• Dim
  • 0 \in I \land 0 \in J \implies 0 \in I \cap J
  • \forall x, y \in I \cap J \quad x, y \in I \land x, y \in J \implies x + y \in I \land x + y \in J \implies x + y \in I \cap J
  • \forall x \in I \cap J \quad x \in I \land x \in J \implies x^{-1} \in I \land x ^{-1} \in J \implies x^{-1} \in I \cap J
  • \forall a \in A, x \in I \cap J \quad x \in I \land x \in J \implies ax \in I \land ax \in J \implies ax \in I \cap J

• Minimo Comune Multiplo

• a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{Z}
• \displaystyle \exists ! m \in \mathbb{N} \mid I(m) = I(a_1) \cap \ldots \cap I(a_n) = \bigcap_{i=1}^{n}{I(a_i)}, ed è detto minimo comune multiplo degli a_1, \ldots, a_n
  • poiché \mathbb{Z} è dominio ad ideali principali, \exists m \in \displaystyle \bigcap_{i = 1}^n{I(a_i)} \mid \bigcap_{i = 1}^n{I(a_i)} = I(m), poiché \displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}{I(a_i)} è ideale per dimostrazione precedente
  • allora considerando la definizione canonica di m :=\textrm{mcm}(a_1, \ldots, a_n) in cui m \ge0, si ha che m \in \mathbb{N} è unico
  • in particolare, m \in \mathbb{Z} non è unico poiché I(m) = I(-m)

• Hp
  • a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}
  • \exists ! m \in \mathbb{N} \mid I(m) = \displaystyle \bigcap_{i=1}^n{I(a_i)}
• Th
  • m = \textrm{mcm}(a_1, \ldots, a_n)
• Dim
  • m è multiplo comune
    • I(m) = \displaystyle \bigcap_{i=1}^n{I(a_i)} \implies m \in I(a_1) \cap \ldots \cap I(a_n) \implies \forall i \in [1, n] \quad \exists x_i \in \mathbb{Z} : a_ix_i = m \iff a_i \mid m
  • m è il minimo tra i multipli comuni
    • m è il minimo tra i multipli comuni se \forall k \in \mathbb{Z} : a_1, \ldots, a_n \mid k \quad m \mid k
    • \forall i \in [1, n] \quad a_i \mid k \iff \exists x_i \in \mathbb{Z} \mid a_ix_i = k \iff k \in I(a_i), allora k \in I(a_1) \cap \ldots \cap I(a_n) = I(m)
    • in particolare k \in I(m) \iff m \mid k

• Hp
  • a, b \in \mathbb{Z}
  • d := \textrm{MCD}(a, b)
  • m := \textrm{mcm}(a, b)
  • x_0, y_0 \in \mathbb{Z} \mid d = a x_0 + b y_0, dunque x_0, y_0 soddisfano l’equazione di Bézout
• Th
  • ax + by = d \iff \left \{ \begin{array}{l}x = x_0 + \dfrac{m}{a}k \\ \\ y = y_0 - \dfrac{m}{b}k\end{array}\right. \forall k \in \mathbb{Z}
• Dim
  • a \left (x_0 + \dfrac{m}{a}k \right) + b \left(y_0 - \dfrac{m}{b}k \right) = ax_0 + mk + by_0 -mk = ax_0 + by_0 = d \implies x_0 e y_0 rispettano il sistema
  • per verificare che ogni soluzione è di questa forma, presi x_1, y_1 \in \mathbb{Z} \mid a x_1 + by_1 = d si ha che \left \{ \begin{array}{l} ax_0 + by_0 = d \\ a x_1 + by_1 = d \end{array} \right. \implies ax_0 + by_0 = ax_1 + by_1 \iff a(x_1 - x_0) = b(y_0 - y_1) =: N \implies a, b \mid N \implies m \mid N \iff \exists k \in \mathbb{Z} \mid mk = N \iff \left \{ \begin{array}{l} a(x_1 - x_0) = mk \\ \\ b(y_0 - y_1) = mk \end{array} \right . \iff \left \{\begin{array}{l} x_1 - x_0 = \dfrac{m}{a}k \\ \\ y_0 - y_1 = \dfrac{m}{b}k \end{array} \right. \iff \left \{ \begin{array}{l} x_1 = x_0 + \dfrac{m}{a}k \\ \\ y_1 = y_0 - \dfrac{m}{b}k \end{array} \right.

• \cdot tra ideali

• (A, +, \cdot) anello commutativo
• I, J \subset A ideali
• I \cdot J = \{i_1 j_1 + \ldots + i_k j_k \mid k \ge 1, i_1 , \ldots , i_k \in I, j_1 , \ldots , j_k \in J \} è detto prodotto tra I e J

• Hp
  • (A, +, \cdot) anello commutativo
  • I, J \subset A ideali
• Th
  • I \cdot J è un ideale
• Dim
  • 0 \in I \land 0 \in J \implies 0 \cdot 0 = 0 \in I \cdot J
  • \forall x, y \in I \cdot J \quad \exists i_1, \ldots, i_k, i_1', \ldots, i_h' \in I, j_1, \ldots, j_k, j_1', \ldots, j_h' \in J \mid x = i_1j_1 + \ldots + i_k j_k \land y = i_1'j_1' + \ldots + i_h'j_h' \implies x + y = i_1j_1 + \ldots + i_kj_k + i_1'j_1'+ \ldots + i_hj_h' \in I\cdot J
  • \forall x \in I \cdot J \quad \exists i_1, \ldots, i_k \in I, j_1, \ldots, j_k \in J \mid x = i_1j_1 + \ldots + i_kj_k \implies -x = (-i_1j_1) + \ldots + (-i_kj_k) \in I \cdot J
  • I ideale \implies \forall a \in A, i \in I \quad a i \in I, allora \forall x \in I \cdot J \quad \exists i_1, \ldots, i_k \in I, j_1, \ldots, j_k \in J \mid x = i_1j_1 + \ldots + i_kj_k \implies \forall a \in A \quad a\cdot x = a(i_1j_1 + \ldots + i_kj_k) = (ai_1)j_1 + \ldots + (ai_k)j_k \in I \cdot J

• Hp
  • a, b \in \mathbb{Z}
  • d:= \textrm{MCD}(a, b)
• Th
  • I(a) + I(b) = I(d)
• Dim
  • per dimostrazione precedente I(a) e I(b) sono ideali, e poiché la somma tra ideali è ben definita, allora I(a)+I(b)=\{i+j \mid i \in I(a), j \in I(b) \iff \exists x \in \mathbb{Z}, y \in \mathbb{Z} \mid i = ax \land j = by\} = \{ax + by \mid ax \in I(a), by \in I(b)\} =: I(a, b) = I(d)
  • questa dimostrazione si può estendere per un numero arbitrario di ideali, ottenendo I(a_1) + \ldots + I(a_n) = I(\textrm{MCD}(a_1, \ldots, a_n))

• Hp
  • a, b \in \mathbb{Z}
• Th
  • I(a) \cdot I(b)=I(a \cdot b)
• Dim
  • I(a) \cdot I(b) \subseteq I(a \cdot b)
    • per dimostrazione precedente I(a) e I(b) sono ideali, e poiché il prodotto tra ideali è ben definito, allora x \in I(a) \cdot I(b) \implies x = i_1 j_1 + \ldots + i_k j_k con i_1 , \ldots , i_k \in I(a) e j_1 , \ldots , j_k \in I(b)
    • per definizione, i \in I(a) \implies \exists x \in \mathbb{Z} \mid i = ax, e dunque i_1, \ldots, i_k = ax_1, \ldots, ax_k con x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{Z}
    • analogamente j_1, \ldots, j_k = by_1, \ldots, by_k con y_1, \ldots, y_k \in \mathbb{Z}
    • segue che x = (ax_1)(by_1)+\ldots+ (ax_k)(by_k) = ab\cdot(x_1y_1+ \ldots+ x_ky_k)
    • poiché (x_1y_1+ \ldots+ x_ky_k) \in \mathbb{Z}, segue che ab \mid x \implies x \in I(a \cdot b)
  • I(a \cdot b) \subseteq I(a) \cdot I(b)
    • x \in I(a \cdot b) \implies \exists k \in \mathbb{Z} \mid x = ab \cdot k
    • x = abk, ma a \in I(a) \land bk \in I(b) \implies x \in I(a) \cdot I(b)