• Matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}):= \underbrace{\mathbb{K}^m \times \ldots \times \mathbb{K}^m}_{n \ \textrm{volte}} è detto insieme delle matrici aventi m righe e n colonne a coefficienti in \mathbb{K}

• Vettori riga e vettori colonna

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• \forall v \in \textrm{Mat}_{1 \times n}(\mathbb{K}) \quad v = \left(x_1, \ldots, x_n\right) è detto vettore riga
• \forall v \in \textrm{Mat}_{m \times 1}(\mathbb{K}) \quad v = \left(\begin{array}{ccc} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{array}\right) è detto vettore colonna
• \forall A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \quad \exists A^1, \ldots, A^n \in \mathbb{K}^m vettori colonna e A_1, \ldots, A_m \in \mathbb{K}^n vettori riga \mid A = \left(A^1, \ldots, A^n \right) = \left(\begin{array}{ccc} A_1 \\ \vdots \\ A_m\end{array}\right)

• + tra matrici

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• \forall i \in [1, m], j \in [1, n] \quad a_{i, j}, b_{i, j} \in \mathbb{K}
• A, B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \mid A = \left(\begin{array}{ccc} a_{1, 1} & \cdots & a_{1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m, 1} & \cdots & a_{m, n} \end{array}\right) \land B = \left(\begin{array}{ccc} b_{1, 1} & \cdots & b_{1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m, 1} & \cdots & b_{m, n} \end{array}\right)
• A + B = \left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} + b_{1, 1} & \cdots & a_{1, n}+b_{1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1}+b_{m, 1} & \cdots & a_{m,n}+b_{m, n} \end{array}\right) è detta somma tra A e B
  • in particolare, è definita solamente per matrice con stessa dimensione

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
• Th
  • \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) spazio vettoriale
  • \dim(\textrm{Mat}_{m \times n}{\mathbb{K}}) = m \cdot n

• \cdot tra matrici

• \mathbb{K} campo
• l, m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{l \times m}(\mathbb{K}) \mid A = \left(\begin{array}{ccc} a_{1, 1} & \cdots & a_{1, m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{l, 1} & \cdots & a_{l, m} \end{array}\right)
• B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \mid B = \left(\begin{array}{ccc} b_{1, 1} & \cdots & b_{1, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m, 1} & \cdots & b_{m, n} \end{array}\right)
• C \in \textrm{Mat}_{l \times n}(\mathbb{K}) \mid C = AB è detto prodotto tra A e B, ed è definito come \left(\begin{array}{ccc}a_{1, 1}b_{1, 1} + \ldots + a_{1, m}b_{m, 1} & \cdots & a_{1, 1}b_{1, n} + \ldots + a_{1, m}b_{m,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\a_{l,1}b_{1, 1} + \ldots + a_{l,m}b_{m, 1} & \cdots & a_{l,1}b_{1,n} + \ldots + a_{l, m}b_{m,n}\end{array}\right)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • l, m, n, k \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{l \times m}(\mathbb{K})
  • B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \forall C \in \textrm{Mat}_{n \times k}(\mathbb{K}) \quad (AB)C = A(BC)
  • \forall C \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \quad A(B+C) = AB+AC
  • \forall \lambda \in \mathbb{K} \quad \lambda(AB) = (\lambda A)B = A (\lambda B)

• Moltiplicazione sinistra

• \mathbb{K} campo
• m,n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \mathscr{L}_A:\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m: x \rightarrow Ax è detta moltiplicazione sinistra di A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m,n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \mathscr{L}_A trasformazione lineare
• Dim
  • \forall x, y \in \mathbb{K}^n \quad \mathscr{L}_A(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = \mathscr{L}_A(x) + \mathscr{L}_A(y)
  • \forall k \in \mathbb{K}, x \in \mathbb{K}^n \quad \mathscr{L}_A(kx) = A(kx) = k(Ax)=k\mathscr{L}_A(x)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m,n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \ker(\mathscr{L}_A) = \textrm{span}(A_1, \ldots, A_m)^\bot
  • \textrm{im}(\mathscr{L}_A) = \textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)
• Dim
  • \ker(\mathscr{L}_A) := \left\{x \in \mathbb{K}^n \mid \mathscr{L}_A(x) = 0_{\mathbb{K}^m} \iff A x = 0_{\mathbb{K}^m} \iff \left(\begin{array}{c}A_1\cdot x \\ \vdots \\ A_m \cdot x\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)\right\} =: \textrm{span}(A_1, \ldots, A_m)^\bot
  • \textrm{im}(\mathscr{L}_A):=\left\{y \in \mathbb{K}^m \mid \exists x \in \mathbb{K}^n : y = \mathscr{L}_A(x) = A x = \left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) =\right.\left.\left(\begin{array}{c}a_{1, 1} x_1 + \ldots + a_{1,n}x_n \\ \vdots \\ a_{m,1}x_1 + \ldots + a_{m,n} x_n \end{array}\right) = x_1 \left(\begin{array}{c}a_{1, 1} \\ \vdots \\ a_{m, 1}\end{array}\right) + \ldots + x_n \left(\begin{array}{c}a_{1, n}\\ \vdots \\ a_{m, n}\end{array}\right) = x_1A^1 + \ldots + x_nA^n \right\}=:\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)

• Rango di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m,n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \textrm{rk}(A):=\textrm{rk}(\mathscr{L}_A) è detto rango di A
  • in particolare \textrm{rk}(A) := \textrm{rk}(\mathscr{L}_A) := \dim(\textrm{im}(\mathscr{L}_A))
  • inoltre, \textrm{rk}(A) \le \min(m, n)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m,n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • \textrm{rk}(A) =\dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)) = \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_m))
• Dim
  • per definizione \textrm{rk}(A) = \textrm{rk}(\mathscr{L}_A)
  • per dimostrazione precedente \left \{ \begin{array}{l}\ker(\mathscr{L}_A) = \textrm{span}(A_1, \ldots, A_n)^{\bot} \\ \textrm{im}(\mathscr{L}_A) = \textrm{span}(A^1, \ldots, A^n) \end{array} \right. \implies \left \{ \begin{array}{l} \dim(\ker(\mathscr{L}_A)) = \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_m)^\bot) \\ \textrm{rk}(A) := \textrm{rk}(\mathscr{L}_A) := \dim(\textrm{im}(\mathscr{L}_A)) = \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n))\end{array} \right.
  • per il teorema del rango \dim(\textrm{im}(\mathscr{L}_A)) = \dim(\mathbb{K}^n) - \dim(\ker(\mathscr{L}_A)) = \dim(\mathbb{K}^n) - \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_m)^\bot)
  • per dimostrazione precedente \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_m)^\bot)= \dim(\mathbb{K}^n) - \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_m))
  • allora \textrm{rk}(A) = \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)) = \dim(\mathbb{K}^n) - (\dim(\mathbb{K}^n) - \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_m))) = \dim(\textrm{span}(A_1, \ldots, A_m))

• Scambio di righe di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \forall A_1, \ldots, A_m righe di A, scambiare A_i e A_j lascia invariato \ker(\mathscr{L}_A)

• Moltiplicazione di una riga per una costante

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}^*
• \forall A_1, \ldots, A_m righe di A, moltiplicare A_i per \lambda lascia invariato \ker(\mathscr{L}_A)

• Somma di una riga con un multiplo di un’altra

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}^*
• \forall A_1, \ldots, A_m righe di A, sommare ad A_i un certo \lambda \cdot A_j lascia invariato \ker(\mathscr{L}_A)

• Scambio di colonne di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \forall A^1, \ldots, A^m colonne di A, scambiare A^i e A^j lascia invariato \textrm{im}(\mathscr{L}_A)

• Moltiplicazione di una colonna per una costante

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}^*
• \forall A^1, \ldots, A^m colonne di A, moltiplicare A^i per \lambda lascia invariato \textrm{im}(\mathscr{L}_A)

• Somma di una colonna con un multiplo di un’altra

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• \lambda \in \mathbb{K}^*
• \forall A^1, \ldots, A^m righe di A, sommare ad A^i un certo \lambda \cdot A^j lascia invariato \textrm{im}(\mathscr{L}_A)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
  • A \equiv_R B \iff è possibile ricavare B da A eseguendo operazioni tra righe
• Th
  • \equiv_R relazione di equivalenza
  • A \equiv_R B \implies \left \{ \begin{array}{l}\ker(\mathscr{L}_A) = \ker(\mathscr{L}_B) \\ \textrm{rk}(A) = \textrm{rk}(B) \end{array} \right.

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
  • A \equiv_C B \iff è possibile ricavare B da A eseguendo operazioni tra colonne
• Th
  • \equiv_C una relazione di equivalenza
  • A \equiv_C B \implies \left \{ \begin{array}{l}\textrm{im}(\mathscr{L}_A) = \textrm{im}(\mathscr{L}_B) \\ \textrm{rk}(A) = \textrm{rk}(B) \end{array}\right.

• Vettore trasposto

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• v \in \textrm{Mat}_{n \times 1}(\mathbb{K}) \mid \exists x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{K} : v = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)
• v^T = \left(x_1, \ldots, x_n\right) è detto vettore trasposto di v
  • vicendevolmente, se v è un vettore riga, il suo trasposto sarà il corrispondente vettore colonna

• Matrice trasposta

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \mid A = \left(A^1, \ldots, A^n\right)
• A^T = \left(\begin{array}{c} {A^1}^T \\ \vdots \\ {A^n}^T \end{array}\right)\in \textrm{Mat}_{n \times m}(\mathbb{K}) è detta matrice trasposta di A

• Matrice simmetrica

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta simmetrica \iff A^T = A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• Th
  • (A\cdot B)^T = B^T\cdot A^T

• Matrice identità

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• I_n = \left(\begin{array}{c}e_1 \\ \vdots \\ e_n \end{array}\right) = \left(e_1^T, \ldots, e_n^T\right) = \left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & & & \vdots\\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ 0 &\cdots & \cdots & 0 & 1\end{array}\right) è detta matrice identità
  • in particolare \forall A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \quad A\cdot I_n = I_n \cdot A = A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}), +, \cdot) è un anello

• Matrice invertibile

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta invertibile \iff \exists A^{-1} \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A\cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n
  • in particolare A invertibile \iff \det(A) \neq 0

• Gruppo Generale Lineare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) := \{A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A invertibile\} è detto gruppo generale lineare
  • in particolare \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) := \{A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid \det(A) \neq 0\}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{GL}(n, \mathbb{K}), \cdot) gruppo
• Dim
  • \det(I_n) \neq 0 \implies I_n \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K})
  • A, B \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{K}) \implies \det(A), \det(B) \neq 0 \implies \det(A) \cdot \det(B) = \det(A \cdot B) \neq 0 \implies AB \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{K})
  • A \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \implies \det(A) \neq 0 \implies \det(A)^{-1} \neq 0, e per il corollario del teorema di Binet 0 \neq \det(A)^{-1} = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K})

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • f: \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K}^*
• Th
  • f morfismo di gruppi

• Gruppo Speciale Lineare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• \textrm{SL}(n, \mathbb{K}) := \{A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid \det(A) = 1\} è detto gruppo speciale lineare

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{SL}(n, \mathbb{K}), \cdot) \trianglelefteq (\textrm{GL}(n, \mathbb{K}), \cdot)
• Dim
  • \det(I_n) = 1 \implies I_n \in \textrm{SL}(n, \mathbb{K})
  • A, B \in \textrm{SL}(n, \mathbb{K}) \implies \det(A) = \det(B)=1, e per il teorema di Binet 1 = \det (A) \cdot \det(B) = \det(A \cdot B) \implies A \cdot B \in \textrm{SL}(n, \mathbb{K})
  • A \in \textrm{SL}(n, \mathbb{K}) \implies \det(A) = 1 \iff \det(A)^{-1} = 1, e per il corollario del teorema di Binet 1 = \det(A)^{-1} = \det(A^{-1}) \implies A^{-1} \in \textrm{SL}(n, \mathbb{K})
  • G \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}), H \in \textrm{SL}(n, \mathbb{K}) \implies \left \{ \begin{array}{l}\det(G \cdot H \cdot G^{-1}) =\det(G) \cdot \det(H) \cdot \det(G^{-1}) = \det(G) \cdot \det(G)^{-1} = 1 \\ \det(H) = 1 \end{array} \right. \implies G \cdot H \cdot G^{-1} \in \textrm{SL}(n, \mathbb{K})

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{GL}(n, \mathbb{K}) / \textrm{SL}(n , \mathbb{K}), \cdot) è ben definito
• Dim
  • \forall A, B \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \quad A \sim B \iff A^{-1}\cdot B \in \textrm{SL}(n, \mathbb{K}) \iff \det(A^{-1}\cdot B) = 1 \iff \det(A^{-1}) \cdot \det(B) = 1 \iff \det(A)^{-1} \cdot \det(B) = 1 \iff \det(B) = \det(A), allora le matrici in relazione tra loro saranno le matrici con stesso determinante

• Matrice ortogonale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K})
• A è detta ortogonale \iff A \cdot A^T = A^T \cdot A = I_n
  • in particolare A^{-1} = A^T
  • inoltre, A_1, \ldots A_n e A^1, \ldots, A^n base ortonormale di \mathbb{K}^n

• Gruppo ortogonale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K})
• \textrm{O}(n) := \{ A \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \mid A ortogonale\} è detto gruppo ortogonale
  • in particolare \textrm{O}(n) := \{A \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \mid A^{-1} = A^T\}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • (\textrm{O}(n), \cdot) \leqslant (\textrm{GL}(n, \mathbb{K}), \cdot)
• Dim
  • I_n = I_n^{-1} = I_n^T \implies I_n \in \textrm{O}(n)
  • A, B \in \textrm{O}(n) \implies \left \{ \begin{array}{l} A^{-1} = A^T \\ B^{-1} = B^T \end{array} \right. \implies (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = B^TA^T = (AB)^T \implies AB \in \textrm{O}(n)
  • A \in \textrm{O}(n) \implies A^{-1} = A^T \implies (A^{-1}A) = I_n = (A^{-1}A)^T \iff I_n = A^T(A^{-1})^T = A^{-1}(A^{-1})^T \iff (A^{-1})^T = A = (A^{-1})^{-1} \implies A^{-1} \in \textrm{O}(n)

• Matrice singolare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta singolare \iff \det(A) = 0

• Matrici simili

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta simile a B \iff \exists C \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \mid A = C^{-1}BC

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
• Th
  • \det(A) = \det(B)
• Dim
  • A simile a B \implies \exists C \in \textrm{GL}(n, \mathbb{K}) \mid A = C^{-1}BC
  • allora \det(A)= \det(C^{-1}BC) = \det(C)^{-1}\cdot \det(B)\cdot \det(C) = \det(B)

• Traccia

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• \textrm{tr}(A) := a_{1,1}+ \ldots + a_{n,n} è detta traccia di A

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A, B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A simile a B
• Th
  • \textrm{tr}(A) = \textrm{tr}(B)

• Matrice triangolare superiore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta triangolare superiore \iff \forall i, j \in [1, n], i \gt j \quad a_{i,j} = 0

• Matrice triangolare inferiore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta triangolare inferiore \iff \forall i, j \in [1, n], i \lt j \quad a_{i,j} = 0

• Matrice triangolare

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta triangolare \iff A triangolare superiore o triangolare inferiore

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A triangolare
• Th
  • \det(A) = a_{1,1} \cdot \ldots \cdot a_{n, n}

• Matrice triangolarizzabile

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta triangolarizzabile \iff \exists B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid B triangolare \land \ B simile ad A

• Matrice diagonale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta diagonale \iff \forall i, j \in [1, n], i \neq j \quad a_{i, j} = 0
  • in particolare, A diagonale \iff A triangolare superiore ed inferiore

• Matrice diagonalizzabile

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})
• A è detta diagonalizzabile \iff \exists B \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid B diagonale \land \ B simile ad A
  • in particolare B è detta matrice diagonalizzante

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \mid A diagonalizzabile
• Th
  • A triangolarizzabile

• Sottomatrice di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• A_i^j è detta sottomatrice di A \iff A_i^j si ottiene rimuovendo A_i e A^j da A

• Minore di una matrice

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• M è detto minore di A \iff M è una sottomatrice quadrata di A

• Orlato di un minore

• \mathbb{K} campo
• m, n, r \in \mathbb{N} \mid r \lt m \land r \lt n
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• M \in \textrm{Mat}_{r \times r}(\mathbb{K}) minore di A
• M' \in \textrm{Mat}_{(r + 1) \times (r + 1)}(\mathbb{K}) è detto orlato di M \iff M' è minore di A e M si ottiene rimuovendo una riga e una colonna da M'

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n, r \in \mathbb{N} \mid r \lt m \land r \lt n
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
  • M \in \textrm{Mat}_{r \times r}(\mathbb{K}) minore di A
• Th
  • M ha (m-r)\cdot(n-r) orlati in A

• Matrice completa

• \mathbb{K} campo
• m, n \in \mathbb{N}
• A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
• b \in \textrm{Mat}_{m \times 1}(\mathbb{K})
• A_b:=\left(\begin{array}{cccc}a_{1, 1} & \cdots & a_{1, n} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m, 1} & \cdots & a_{m,n} & b_m\end{array}\right) è detta matrice completa di A e b

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K} \mid \left \{ \begin{array}{l} \dim(V) = n \\ \dim(W) = m \end{array} \right.
  • \mathcal{B}=\{v_1, \ldots, v_n\} base di V
  • \mathcal{C}=\{w_1, \ldots, w_m\} base di W
  • f: V \rightarrow W trasformazione lineare
  • \varphi_\mathcal{B}: \mathbb{K}^n \rightarrow V: (b_1, \ldots, b_n) \rightarrow b_1v_1 + \ldots + b_nv_n trasformazione lineare biettiva
  • \varphi_\mathcal{C}: \mathbb{K}^m \rightarrow W: (c_1, \ldots, c_m) \rightarrow c_1w_1 + \ldots + c_mw_m trasformazione lineare biettiva
• Th
  • \exists !A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \mid f = \varphi_\mathcal{C}\cdot \mathscr{L}_A \cdot \varphi_\mathcal{B}^{-1}, e prende il nome di matrice di f
• Dim
  • si noti che V \cong \mathbb{K}^n per dimostrazione precedente, dunque esiste \varphi_{\mathcal{B}}, e analogamente W \cong \mathbb{K}^m implica che esiste \varphi_{\mathcal{C}}
  • sia e_1, \ldots, e_n base canonica di \mathbb{K}^n
  • \forall i \in [1, n] \quad \varphi_{\mathcal{B}}(e_i) = 0 \cdot v_1 + \ldots + 1 \cdot v_i + \ldots 0 \cdot v_n = v_i \iff \varphi_{\mathcal{B}}^{-1}(v_i) = e_i
  • \forall A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \quad \mathscr{L}_A(e_i) = \left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & \ldots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m, 1} & \ldots & a_{m, n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_{1, i} \\ \vdots \\ a_{m, i}\end{array}\right) = A^i \in \mathbb{K}^m
  • allora è sufficiente prendere A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \mid \varphi_{\mathcal{C}}(A^i)=a_{1, i}w_1+ \ldots + a_{m, i} w_m = w_i

• Matrice di Vandermonde

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• b_0, \ldots, b_n \in \mathbb{K} \mid \forall i, j \in [1, n], i \neq j \quad b_i \neq b_j
• V(b_0, \ldots, b_n) := \left ( \begin{array}{cccc} b_0^0 & b_0^1 & \cdots & b_0^n \\ b_1^0 & b_1^1 & \cdots & b_1^n \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\\vdots & &\ddots & \vdots \\ b_n^0 & b_n^1 & \cdots & b_n^n\end{array}\right) è detta matrice di Vandermonde a coefficienti b_0, \ldots, b_n

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • b_0, \ldots, b_n \in \mathbb{K} \mid \forall i, j \in [1, n], i \neq j \quad b_i \neq b_j
• Th
  • \det(V(b_0, \ldots, b_n)) = \displaystyle \prod_{0 \le i \lt j \le n}{(b_j - b_i)}
• Dim
  • \det(V(b_0, \ldots, b_n))=\det\left ( \begin{array}{cccc} b_0^0 & b_0^1 & \cdots & b_0^n \\ b_1^0 & b_1^1 & \cdots & b_1^n \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\\vdots & &\ddots & \vdots \\ b_n^0 & b_n^1 & \cdots & b_n^n\end{array}\right) = \det\left ( \begin{array}{cccc} 1 & b_0 & \cdots & b_0^n \\ 1 & b_1 & \cdots & b_1^n \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\\vdots & &\ddots & \vdots \\ 1 & b_n & \cdots & b_n^n\end{array}\right)
  • sottraendo la prima riga a tutte le altre, si ottiene \det\left ( \begin{array}{cccc} 1 & b_0 & \cdots & b_0^n \\ 0 & b_1 - b_0 & \cdots & b_1^n - b_0^n \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\\vdots & &\ddots & \vdots \\ 0 & b_n - b_0 & \cdots & b_n^n - b_0^n\end{array}\right)
  • eseguendo lo sviluppo di Laplace sulla prima colonna, si ottiene 1 \cdot \det\left ( \begin{array}{cccc} b_1 - b_0 & b_1^2 -b_0^2 & \cdots & b_1^n - b_0^n \\ b_2 - b_0 & b_2^2-b_0^2&\cdots & b_2^n - b_0^n \\ \vdots & \ddots & &\vdots \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ b_n - b_0 & b_n^2-b_0^2 & \cdots & b_n^n - b_0^n\end{array}\right)
  • \forall i \in [1, n] \quad b_i^n - b_0^n = (b_i - b_0)(b_i^{n - 1} + b_i^{n - 2}b_0 + \ldots + b_ib_0^{n - 2} + b_0^{n - 1})
  • allora si ottiene \det\left ( \begin{array}{cccc} (b_1 - b_0) \cdot 1 & (b_1 -b_0)\cdot(b_1 + b_0) & \cdots & (b_1 - b_0)\cdot(b_1^{n - 1} + \ldots + b_0^{ n - 1}) \\ (b_2 - b_0) \cdot 1 & (b_2 - b_0)\cdot (b_2+b_0)&\cdots & (b_2 - b_0)\cdot(b_2^{n -1} + \ldots + b_0^{n - 1}) \\ \vdots & \ddots & &\vdots \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ (b_n - b_0) \cdot 1 & (b_n-b_0)\cdot (b_n + b_0) & \cdots & (b_n - b_0) \cdot (b_n^{n -1}+ \ldots + b_0^{n -1})\end{array}\right) = (b_n - b_0)\cdot \ldots \cdot(b_1 - b_0) \cdot \det\left ( \begin{array}{cccc} 1 & b_1 + b_0 & \cdots & b_1^{n - 1} + \ldots + b_0^{ n - 1} \\1 & b_2+b_0&\cdots & b_2^{n -1} + \ldots + b_0^{n - 1} \\ \vdots & \ddots & &\vdots \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 1 & b_n + b_0 & \cdots & b_n^{n -1}+ \ldots + b_0^{n -1}\end{array}\right) per multilinearità del determinante
  • \left( \begin{array}{cccc} 1 & b_1 + b_0 & \cdots & b_1^{n - 1} + \ldots + b_0^{ n - 1} \\1 & b_2+b_0&\cdots & b_2^{n -1} + \ldots + b_0^{n - 1} \\ \vdots & \ddots & &\vdots \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 1 & b_n + b_0 & \cdots & b_n^{n -1}+ \ldots + b_0^{n -1}\end{array}\right)\xrightarrow{\left . \begin{subarray}{c}C^2 -= b_0 \cdot C^1 \\ C^3 -= b_0 \cdot C^1 + b_0 \cdot C^2 \\ \vdots \\ C^n -= b_0 \cdot C^1 + \ldots + b_0 \cdot C^{n - 1}\end{subarray}\right.} \left ( \begin{array}{cccc} 1 & b_1 & \cdots & b_1^{n - 1} \\1 & b_2 &\cdots & b_2^{n -1} \\ \vdots & \ddots & &\vdots \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 1 & b_n & \cdots & b_n^{n -1}\end{array}\right) = V(b_1, \ldots, b_n)
  • allora si ha che \det(V(b_0, \ldots, b_n)) = (b_n - b_0) \cdot \ldots \cdot(b_1 - b_0) \cdot \det(V(b_1, \ldots, b_n)) = (b_n - b_0) \cdot \ldots \cdot(b_1 - b_0) \cdot (b_n - b_1) \cdot \ldots \cdot (b_2 - b_1) \cdot \det(V(b_2, \ldots, b_n)) \implies \det(V(b_0, \ldots, b_n)) = \displaystyle \prod_{0 \le i \lt j \le n}{(b_j - b_i)}