• Morfismo di gruppi

• (G, \cdot), (H, \cdot) gruppi
• f: G \rightarrow H
• f è detto morfismo di gruppi \iff \forall x, y \in G \quad f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)

• Morfismo di anelli

• (A, +, \cdot), (B, +, \cdot) anelli
• f: A \rightarrow B
• f è detto morfismo di anelli \iff
  • \forall x, y \in A \quad f(x+ y) = f(x) + f(y)
  • \forall x, y \in A \quad f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)

• Hp
  • (G, \cdot), (H, \cdot) gruppi
  • 1_G neutro per G
  • 1_H neutro per H
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • f(1_G) = 1_H
• Dim
  • \forall g \in G \quad f(g) = f(1_G \cdot g) = f(1_G) \cdot f(g) poiché f morfismo
  • quindi f(g) = f(1_G) \cdot f(g) \iff f(g) \cdot f(g)^{-1} = f(1_G) \cdot f(g) \cdot f(g)^{-1} \iff 1_H = f(1_G) \cdot 1_H \implies 1_H = f(1_G)

• Hp
  • (G, \cdot), (H, \cdot) gruppi
  • 1_G neutro per G
  • 1_H neutro per H
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • f(g^{-1}) = f(g)^{-1}
• Dim
  • per dimostrazione precedente, 1_H = f(1_G) = f(g \cdot g^{-1})=f(g) \cdot f(g^{-1}) \iff f(g)^{-1} = f(g^{-1})

• Isomorfismo

• f è detto isomorfismo \iff f morfismo biettivo

• Hp
  • (G, \cdot), (H, \cdot) gruppi
  • f: G \rightarrow H isomorfismo
• Th
  • f ^{-1}: H \rightarrow G isomorfismo
• Dim
  • \forall h, h^{\prime} \in H \quad f^{-1}\left(h h^{\prime}\right)=f^{-1}(h) \cdot f^{-1}\left(h^{\prime}\right) \iff hh'=f\left(f^{-1}\left(h h^{\prime})\right)=f(f^{-1}(h)\cdot f^{-1}(h^\prime)) = f(f^{-1}(h))\cdot f(f^{-1}(h^\prime))\right. = hh' \implies f^{-1} morfismo, e poiché è invertibile allora f isomorfismo

• Hp
  • \cong è la relazione di isomorfismo
• Th
  • \cong è una relazione di equivalenza
• Dim
  • riflessività: \forall G gruppo\quad G \cong G
    • G \cong G \implies \exists f : G \rightarrow G isomorfismo
    • presa f: G \rightarrow G : x \rightarrow x, allora \forall x, y \in G \quad f(x) \cdot f(y) = x \cdot y = f(x \cdot y) \implies f è un morfismo
    • f è la funzione identità, e dunque è biettiva
    • allora f è l’isomorfismo tale che G \cong G
  • simmetria: \forall G, H gruppi\quad G \cong H \implies H \cong G
    • G \cong H \implies \exists f: G \rightarrow H isomorfismo, e in particolare biettiva \implies \exists f^{-1} ancora biettiva
    • per dimostrazione precedente f morfismo \implies f^{-1} morfismo, allora f : H \rightarrow G isomorfismo \implies H \cong G
  • transitività: \forall G, H, K gruppi\quad G \cong H \land H \cong K \implies G \cong K
    • G \cong H \implies \exists f: G \rightarrow H isomorfismo
    • H \cong K \implies \exists g: H \rightarrow K isomorfismo
    • g \circ f: G \rightarrow K è ancora biettiva perché composizione di funzioni biettive
    • f: x \rightarrow f(x), g: x \rightarrow g(x) \implies g \circ f : x \rightarrow g(f(x)) \implies \forall x, y \in G \quad g(f(x))\cdot g(f(y)) =g(f(x)\cdot f(y)) = g(f(x \cdot y)) poiché f e g sono isomorfismi, e questo dimostra che g \circ f è un isomorfismo

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \zeta := e^{i \frac{2 \pi}{n}}
  • H := \{\zeta ^0, \zeta^1, \zeta^k, \ldots, \zeta^{n-1}\} è l’insieme delle radici n-esime di 1, in particolare \zeta^n=1
• Th
  • (H, \cdot) \leqslant (\mathbb{C}^*, \cdot)
• Dim
  • \zeta ^0 = 1 \implies 1 \in H
  • z, w \in H \iff z^n=w^n = 1 \implies (z \cdot w)^n = z^n \cdot w^n = 1 \cdot 1 = 1 \implies z \cdot w \in H
  • z^n = 1 \iff \dfrac{1}{z^n} = 1 \iff (z^{-1})^n = 1 \implies z^{-1} \in H

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \zeta := e^{i \frac{2 \pi}{n}}
  • H := \{\zeta ^0, \zeta^1, \zeta^k, \ldots, \zeta^{n-1}\} è l’insieme delle radici n-esime di 1, in particolare \zeta^n = 1
  • f: \mathbb{Z}_n \rightarrow H : [k] \rightarrow \zeta^k
• Th
  • f isomorfismo di gruppi tra (\mathbb{Z}_n , +) e (H, \cdot)
• Dim
  • f è biettiva per costruzione di \mathbb{Z}_n := \{[0], [1], \ldots, [n - 1]\} e H := \{\zeta ^0, \zeta^1, \ldots, \zeta^{n-1}\}
  • f morfismo \iff f([i]+[j])=f([i]) \cdot f([j])
    • [i] + [j] = [k] per un certo k \in \mathbb{Z}_n \implies \exists h \in \mathbb{Z} \mid i + j = k + hn
    • allora f([i]+[j])= f([k]) = \zeta^k
    • f([i]) \cdot f([j]) = \zeta^i \cdot \zeta ^j = \zeta ^{i + j}, ma per osservazione precedente \zeta^{i + j} = \zeta^{k + nh} = \zeta^{k} \cdot (\zeta^n)^h = \zeta^k \cdot 1^h = \zeta^k
    • allora f([i] + [j]) = \zeta^k = f([i]) \cdot f([j])

• Hp
  • f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n : k \rightarrow [k]
• Th
  • f morfismo di anelli tra \left(\mathbb{Z},+, \cdot\right) e \left(\mathbb{Z}_{n},+, \cdot\right)
• Dim
  • poiché + e \cdot sono ben definite, si ha che [x + y] = f(x+y)=f(x)+f(y) = [x] + [y] e [x \cdot y] = f(x \cdot y)=f(x) \cdot f(y) = [x] \cdot [y], e dunque f morfismo

• Hp
  • n, m \in \mathbb{Z} : n \mid m
  • f : \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathbb{Z}_n: x \ (\bmod \ m) \rightarrow x \ (\bmod\ n)
• Th
  • f morfismo di anelli tra \left(\mathbb{Z}_{m},+, \cdot\right) e \left(\mathbb{Z}_{n},+, \cdot\right)
• Dim
  • \forall [x], [y] \in \mathbb{Z}_m \quad f(x + y \ (\bmod \ m)) = x +y \ (\bmod \ n) = x \ (\bmod \ n)+ y \ (\bmod \ n) = f(x \ (\bmod \ m)) + f(y \ (\bmod \ m))
  • \forall [x], [y] \in \mathbb{Z}_m \quad f(x \cdot y \ (\bmod \ m)) = x \cdot y \ (\bmod \ n) = x \ (\bmod \ n)\cdot y \ (\bmod \ n) = f(x \ (\bmod \ m)) \cdot f(y \ (\bmod \ m))

• Hp
  • G gruppo
  • g \in G
  • f: G \rightarrow G : h \rightarrow ghg^{-1}
• Th
  • f morfismo di gruppi tra (G, \cdot) e (G, \cdot)
• Dim
  • \forall h, h^\prime \in G \quad f(h) \cdot f\left(h^{\prime}\right)=\left(g h g^{-1}\right)\cdot \left(g h^{\prime} g^{-1}\right)=gh(g^{-1} \cdot g)h^\prime g^{-1}=g h h^{\prime} g^{-1}=f\left(h h^{\prime})\right. \iff f morfismo

• Kernel e immagine di gruppi

• G, H gruppi
• f: G \rightarrow H morfismo
• \textrm{ker}(f):=\{g \in G \mid f(g) = 1_H\} è detto kernel/nucleo di f
• \textrm{im}(f):=\{h \in H \mid \exists g \in G : f(g) = h\} è detta immagine di f

• Hp
  • G, H gruppi
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • \ker(f) \trianglelefteq G
• Dim
  • per dimostrazione precedente, f(1_G) = 1_H \implies 1_G \in \textrm{ker}(f)
  • x, y \in \textrm{ker}(f) \iff f(x) = f(y) = 1_H \implies f(x) \cdot f(y) = 1_H \cdot 1_H = 1_H, e f(x) \cdot f(y) = f(x \cdot y) = 1_H perché f morfismo, quindi x \cdot y \in \textrm{ker}(f)
  • g \in \textrm{ker}(f) \iff f(g) =1_H \iff f(g)^{-1} = 1_H^{-1} = 1_H, allora per dimostrazione precedente si ha che f(g)^{-1} = f(g^{-1})= 1_H \implies g^{-1} \in \textrm{ker}(f)
  • \ker(f) \trianglelefteq G \iff \forall g \in G, h \in \ker(f) \quad ghg^{-1} \in \ker(f)
  • f(ghg^{-1}) = f(g) \cdot f(h) \cdot f(g^{-1})=f(g) \cdot 1_H \cdot f(g)^{-1} = 1_H \implies ghg ^{-1} \in \textrm{ker}(f)

• Hp
  • G, H gruppi
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • \textrm{im}(f) \leqslant H
• Dim
  • per dimostrazione precedente f(1_G)= 1_H \implies 1_H \in \textrm{im}(f)
  • x, y \in \textrm{im}(f) \iff \exists g, g^\prime \in G \mid x = f(g) \land y = f(g^\prime) \implies x \cdot y = f(g) \cdot f(g^\prime) = f(g\cdot g^\prime) perché f morfismo, quindi x \cdot y \in \textrm{Im}(f)
  • x \in \textrm{im}(f) \iff \exists g \in G \mid f(g) = x \iff x^{-1} = f(g)^{-1} = f(g^{-1}) per dimostrazione precedente, quindi x ^{-1} \in \textrm{Im}(f)

• Hp
  • G, H gruppi
  • f: G \rightarrow H morfismo
• Th
  • f iniettiva \iff \textrm{ker}(f) = \{1_G\}
• Dim
  • prima implicazione
    • per dimostrazione precedente f(1_G) = 1_H \implies 1_G \in \ker(f)
    • f iniettiva \implies \forall x, x' \in G \mid x \neq x' \quad f(x) \neq f(x') \implies \forall x \in G - \{1_G\} \quad f(x) \neq 1_H \implies \mathrm{ker}(f)= \{1_G\}
  • seconda implicazione
    • \forall g, g^\prime \in G \quad f(g) = f(g^\prime) \iff f(g)^{-1} \cdot f(g) = f(g)^{-1} \cdot f(g^\prime) \iff 1_H = f(g^{-1}) \cdot f(g^\prime) = f(g ^{-1} \cdot g^\prime)
    • \textrm{ker}(f) = \{1_G\} \implies f(1_G)=1_H solamente per 1_G, allora f(g^{-1}\cdot g^\prime) = 1_H \implies g^{-1} \cdot g^\prime = 1_G necessariamente, e g^{-1} \cdot g^\prime = 1_G \iff g= g^\prime \implies f iniettiva

• Kernel e immagine di anelli

• A, B anelli
• f: A \rightarrow B morfismo
• \textrm{ker}(f):=\{a \in A \mid f(a)= 0_B\} è detto kernel/nucleo di f
• \textrm{im}(f):=\{b \in B \mid \exists a \in A : f(a) = b\} è detto immagine di f

• Hp
  • A, B anelli
  • f: A \rightarrow B morfismo di anelli
• Th
  • \textrm{ker}(f) \subset A ideale
• Dim
  • (\textrm{ker}(f), +) \trianglelefteq (A, +) per dimostrazione precedente
  • per dimostrazione precedente f(0_A) = 0_B
  • \forall x \in \textrm{ker}(f), y \in A \quad f(x \cdot y )= f(x) \cdot f(y) = 0_B \cdot f(y) = 0_B \implies x \cdot y \in \textrm{ker}(f) \implies \textrm{ker}(f) \cdot A \subseteq \textrm{ker}(f)

• Hp
  • A, B anelli
  • f: A \rightarrow B morfismo di anelli
• Th
  • \textrm{im}(f) \subset B sottoanello
• Dim
  • (\textrm{im}(f), +) \leqslant (B, +) per dimostrazione precedente
  • x, y \in \textrm{im}(f) \iff \exists a, a^\prime \in A\mid x = f(a) \land y = f(a^\prime) \implies x \cdot y = f(a) \cdot f(a^\prime) = f(a\cdot a^\prime) perche f morfismo, quindi \exists a \cdot a^\prime \mid x \cdot y = f(a \cdot a^\prime) \implies x\cdot y \in \textrm{im}(f) \implies \textrm{im}(f) \cdot \textrm{im}(f) \subseteq \textrm{im}(f)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \zeta := e^{i \frac{2 \pi}{n}}
  • H := \{\zeta ^0, \zeta^1, \zeta^k, \ldots, \zeta^{n-1}\} è l’insieme delle radici n-esime di 1, in particolare \zeta ^n = 1
  • H(\zeta) := \{\zeta^k \mid k \in \mathbb{Z}\}
• Th
  • H(\zeta) \cong \mathbb{Z}_n
• Dim
  • sia f: \mathbb{Z} \rightarrow H(\zeta) : k \rightarrow \zeta^k
  • \forall k, h \in \mathbb{Z} \quad f(k + h) = \zeta^{k + h} = \zeta^{k} \cdot \zeta^{h} = f(k) \cdot f(h) \iff f morfismo di gruppi tra (\mathbb{Z}, +) e (H(\zeta), \cdot)
  • k \in \ker(f) \iff f(k) = 1 \in \mathbb{C} \iff \exists h \in \mathbb{Z} \mid f(k) = 1 = \zeta^k = (\zeta^n)^h \iff k \in I(n), allora \ker(f) = I(n)
  • per definizione \mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/\equiv \ = \mathbb{Z}/I(n)
  • allora \mathbb{Z}/I(n) = \mathbb{Z}/\ker(f) \cong \textrm{im}(f) per il teorema di isomorfismo
  • \textrm{im}(f) := \{\zeta ^k \mid \exists k \in \mathbb{Z} : f(k) = \zeta^k\} =: H(\zeta)
  • allora H(\zeta) = \textrm{im}(f) \cong \mathbb{Z}/\ker(f) = \mathbb{Z}/I(n)=\mathbb{Z}_n