• Insieme dei numeri complessi

• \mathbb{C}:=\left\{a+i b \mid a, b \in \mathbb{R}, \ i : i^{2}=-1\right\} è detto insieme dei numeri complessi
• \forall z \in \mathbb{C} \quad \left\{\begin{array}{l}a:=\operatorname{Re}(z) \\ b:=\operatorname{Im}(z)\end{array}\right., dove a è detta parte reale e b è detta parte immaginaria

• Hp
  • a, b, c, d \in \mathbb{R}
  • z \in \mathbb{C} \mid z=a+i b
  • w \in \mathbb{C} \mid w=c+i d
• Th
  • z + w = (a+b)+i (c +d)
  • z\cdot w=(a c-b d)+i(ad+ bc)

• Coniugato

• a, b \in \mathbb{R}
• z \in \mathbb{C} \mid z=a+i b
• \overline{z}:=a-i b è detto coniugato di z

• Hp
  • a,b, c, d, \in \mathbb{R}
  • z \in \mathbb{C} \mid z=a+i b
  • w \in \mathbb{C} \mid w=c+i d
• Th
  • \overline{z}+\overline{w}=\overline{z+w}
  • \overline{z} \cdot \overline{w}=\overline{z \cdot w}

• Hp
  • 0 \le \theta \lt 2 \pi
• Th
  • e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta

• Raggio

• a, b \in \mathbb{R}
• z \in \mathbb{C} \mid z = a+ib
• |z|:=\sqrt{a^{2}+b^{2}} è detto raggio di z
  • corrisponde alla distanza di z dall’origine nel piano di Gauss

• Forma polare

• a, b \in \mathbb{C}
• z \in \mathbb{C}
• z=|z|\cdot e^{i \theta} è detta forma polare di z

• Soluzione principale

• a, b \in \mathbb{R}
• z \in \mathbb{C} \mid z = a + i b
• \arg(z) \subset \mathbb{R} è detto insieme delle soluzioni del sistema \left\{\begin{array}{l}\cos (\theta)=\frac{a}{|z|} \\ \sin (\theta)=\frac{b}{|z|}\end{array}\right.
• per definizione di \textrm{arg}(z) \quad \exists ! \theta \mid 0 \leq \theta \le 2 \pi tale che \theta sia soluzione del sistema, e questo prende il nome di \textrm{Arg}(z), detta soluzione principale

• Hp
  • (\mathbb{C}, +, \cdot) è un gruppo
• Th
  • (\mathbb{C}, +, \cdot ) è un campo
• Dim
  • \left.\begin{array}{l} z \cdot \bar{z}=(a+i b)(a-i b)=a^{2}-(i b)^{2} \\ i^{2}=-1 \end{array} \right \} \implies a^{2}-i^{2} b^{2}=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}
  • z \cdot \bar{z}=|z|^{2} \iff z=\dfrac{|z|^{2}}{\bar{z}} \iff z^{-1}=\dfrac{z}{|z|^{2}} = \dfrac{a}{a^2+b^2}- i \dfrac{b}{a^2+b^2} \implies \mathbb{C} ammette inversi moltiplicativi \implies (\mathbb{C}, +, \cdot) è un campo

• Hp
  • z, w \in \mathbb{C}
• Th
  • |z \cdot w|=|z|\cdot |w| \quad \arg(z\cdot w)=\arg(z) + \arg(w)
  • |\overline{w}|=|w| \quad \arg(\overline{w})=-\arg(w)
  • |w^{-1}|={|w|}^{-1}\quad \arg(w^{-1})=-\arg(w)
  • \left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|} \quad \arg\left(\dfrac{z}{w}\right)=\arg(z) - \arg(w)

• Hp
  • z \in \mathbb{C}
• Th
  • z^{n}=|z|^{n} e^{i \theta n} \quad \arg \left( z^{n} \right)=n \arg (z)