• Permutazioni

• X insieme
• \mathcal{S}_X := \{f \mid f:X \rightarrow X biettiva\} è l’insieme delle permutazioni di X
  • in particolare, una permutazione è una biezione X \rightarrow X
  • inoltre, si ha che |\mathcal{S}_X| = |X|!

• Hp
  • f funzione
• Th
  • f biettiva \iff f invertibile

• Hp
  • \mathcal{S}_X := \{f \mid f : X \rightarrow X biettiva\}
• Th
  • (\mathcal{S}_X, \circ) è un gruppo, non abeliano se |X| \ge 3
• Dim
  • la composizione di funzioni è associativa
  • \textrm{id} è biettiva \implies \textrm{id} \in \mathcal{S}_X per definizione, e costituisce l’elemento neutro
  • \forall f \in \mathcal{S}_X \quad \exists f^{-1} \in \mathcal{S}_X poiché f \in \mathcal{S}_X \implies f biettiva, e dunque invertibile per dimostrazione precedente
  • \forall f \in \mathcal{S}_X \quad f biettiva \iff f invertibile \iff \exists f^{-1} \in \mathcal{S}_X, poiché f^{-1} anch’essa biettiva
  • |X| = 2 \implies X è della forma X = \{a, b\}, quindi \mathcal{S}_X =\left\{\begin{array}{l}a \rightarrow a \\ b \rightarrow b\end{array}\right. , \left.\begin{array}{l}a \rightarrow b \\ b \rightarrow a\end{array}\right\}, dove uno dei due elementi è \rm id
    • \rm id \circ id = id
    • \rm \sigma \circ id = id \circ \sigma = \sigma
    • \rm \sigma \circ \sigma = id per costruzione
  • quindi |X| = 2 \implies \mathcal{S}_X è abeliano, mentre |X| = 1 \implies \mathcal{S}_X è abeliano perché contiene un solo elemento
  • se |X| \ge 3, allora non è abeliano poiché \circ non è commutativo

• Gruppo simmetrico

• n \in \mathbb{N} - \{0\}
• X = \{1, \ldots, n\}
• \mathcal{S}_n := \{f \mid f: X \rightarrow X biettiva\} è detto gruppo simmetrico di n
  • inoltre, si ha che |\mathcal{S}_n| = n!

• Ciclo di una permutazione

• n \in \mathbb{N}
• \sigma \in \mathcal{S}_n
• i_1, \ldots, i_d \in \mathbb{N} \mid 1 \leq i_1, \ldots, i_d \leq n
• (i_1, \ldots, i_d) è detto ciclo di \sigma \iff \left\{\begin{array}{c}\sigma\left(i_{1}\right)=i_{2} \\\sigma\left(i_{2}\right)=i_{3} \\\vdots \\\sigma\left(i_{d-1}\right)=i_{d} \\\sigma\left(i_{d}\right)=i_{1}\end{array}\right.
  • d è detta lunghezza del ciclo i_1, \ldots, i_d
  • in generale, è possibile scomporre \sigma = \gamma_1, \ldots, \gamma_k, dove ogni \gamma_i è un ciclo di \sigma

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n
  • i \in \mathbb{N} \mid 1 \le i \le n
  • I(\sigma, i):=\left\{n \in \mathbb{Z} \mid \sigma^{n}(i)=i\right\}
• Th
  • (I(\sigma, i), +) \subset (\mathbb{Z}, +) ideale
• Dim
  • (I(\sigma, i), +) \leqslant (\mathbb{Z}, +)
    • \sigma ^0 = \textrm{id} \implies \forall i \quad \sigma ^0(i) = \textrm{id}(i) = i \implies 0 \in I(\sigma, i)
    • m, n \in I(\sigma, i) \implies \sigma^m (i) = \sigma^n(i) = i, ma \sigma^{m+n}(i)=\sigma^{m}\left(\sigma^{n}(i)\right) = \sigma^m(i)=i \implies m + n \in I(\sigma, i)
    • n \in I(\sigma, i) \implies \sigma ^n (i) = i, ma per simmetria della permutazione \sigma^ {-n} (i) = i \implies -n \in I(\sigma, i)
  • \forall n \in I(\sigma, i) \quad \sigma^n(i) = i \iff \forall k \in \mathbb{Z} \quad (\sigma^n)^k(i) = i \implies \sigma^{nk}(i) = i \implies nk \in I(\sigma, i)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma = \gamma_1 \ldots \gamma_k sia la sua decomposizione in cicli
  • i \in \gamma_j
  • \exists d \in I(\sigma, i) \mid I(\sigma, i) = I(d)
• Th
  • d è la lunghezza di \gamma_j
• Dim
  • per definizione \forall n \in I(\sigma, i) \quad \sigma^n(i) = i
  • si noti che le uniche potenze per cui tale proprietà è rispettata sono quelle per cui viene permutato ogni elemento del ciclo col suo successivo, e in particolare si ritornerà sull’elemento di partenza esattamente ogni d permutazioni, dove d è la lunghezza di \gamma_j
  • allora, I(\sigma, i) corrisponde ai multipli della lunghezza di \gamma_j, ovvero I(d) \implies I(\sigma, i) = I(d), con d lunghezza di \gamma_j

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma = \gamma_1 \ldots \gamma_k sia la sua decomposizione in cicli
  • \forall j \in [1, k] \quad d_j:= lunghezza di \gamma_j
  • m := \textrm{mcm}(d_1, \ldots, d_k)
  • I(\sigma):=\left\{n \in \mathbb{Z} \mid \sigma^{n}=\textrm{id}\right\}
• Th
  • o(\sigma) = m
• Dim
  • x \in I(\sigma) \iff \sigma^{x}=\textrm{id} \iff \forall 1 \leq i \leq n \quad \sigma^{x}(i)=i \iff \forall 1 \leq i \leq n \quad x \in I(\sigma, i) \iff x \in I(\sigma, 1) \cap \ldots \cap I(\sigma, n)
  • inoltre, per dimostrazione precedente I(\sigma) = I(\sigma, 1) \cap \ldots \cap I(\sigma, n) = I(d_1) \cap \ldots \cap I(d_k)
  • m:= \textrm{mcm}(d_1, \ldots, d_k) \implies I(d_1) \cap \ldots \cap I(d_k) = I(m)
  • allora I(\sigma) = I(m) \implies o(\sigma) = m

• Trasposizione

• n \in \mathbb{N}
• i, j \in [1, n] \mid i \neq j
• \tau_{i, j} \in \mathcal{S}_n
• \tau_{i, j} è detta trasposizione \iff \forall k \in [1,n] \quad \tau_{i, j}(k) =\left\{\begin{array}{ll}j & k=i \\ i & k=j \\ k & k \neq i, j\end{array}\right.
  • in particolare, una trasposizione è una permutazione che inverte esclusivamente due elementi
  • inoltre, si ha che \tau_{i, j}^2 = \textrm{id} \iff \tau_{i, j} = \tau_{i, j} ^{-1}

• Trasposizione adiacente

• n \in \mathbb{N}
• i, j \in [1, n] \mid i \neq j
• \tau_{i, j} \in \mathcal{S}_n trasposizione
• \tau_{i, j} è detta trasposizione adiacente \iff j = i + 1
  • in particolare, sono trasposizioni della forma \tau_{i, i + 1}, e sono dette adiacenti poiché invertono esclusivamente due elementi adiacenti

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n
• Th
  • \exists 1 \leq i_1, \ldots, i_k \le n \mid \sigma = \tau_{i_1, i_1 + 1} \ldots \tau_{i_k, i_k + 1}, dunque ogni permutazione può essere ottenuta come composizione di trasposizioni adiacenti
• Dim
  • \tau_{i, j}=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\ 1 & \cdots & j & \cdots & i & \cdots & n\end{array}\right) è una trasposizione
  • \sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(n) \end{array}\right) è una permutazione
  • allora \sigma \tau_{i, j}=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots & n \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(j) & \cdots & \sigma(i) & \cdots & \sigma(n) \end{array}\right)
  • in particolare, se le trasposizioni devono essere adiacenti, allora ogni trasposizione invertirà due colonne adiacenti alla volta
  • esempio
    • \sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 3 & 1\end{array}\right) \implies \sigma \tau_{34}\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{array}\right) \implies \sigma \tau_{3 4} \tau_{23}=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) \implies\sigma \tau_{3 4} \tau_{23} \tau_{12}=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3\end{array}\right) \implies\sigma \tau_{34} \tau_{23} \tau_{12} \tau_{34}=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right) = \textrm{id}, ma allora \textrm{id} = \sigma \tau_{34} \tau_{23} \tau_{12} \tau_{34} \iff \sigma =\tau_{34} \tau_{12} \tau_{23} \tau_{34}

• Segno di una permutazione

• n \in \mathbb{N}
• \sigma \in \mathcal{S}_n
• \textrm{Inv}(\sigma) := \{ (i, j) \mid 1 \leq i \lt j \le n : \sigma(i) \gt \sigma(j)\} è detto insieme delle inversioni di \sigma
• \textrm{sgn}(\sigma) := (-1)^{|\textrm{Inv}(\sigma)|} =\left\{\begin{array}{ll}+1 & |\operatorname{Inv}(\sigma)| \equiv 0 \ (\bmod \ 2) \\ -1 & |\operatorname{Inv}(\sigma)| \equiv 1 \ (\bmod \ 2)\end{array}\right.
  • in particolare \sigma è detta pari \iff \textrm{sgn}(\sigma) = +1, e vivecersa

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \alpha, \beta \in \mathcal{S}_n \mid \textrm{sgn}(\alpha) \cdot \textrm{sgn}(\beta) = 1
• Th
  • \textrm{sgn}(\alpha)= \textrm{sgn}(\beta)
• Dim
  • \textrm{sgn}(\alpha), \textrm{sgn}(\beta) = \pm 1 per definizione, allora necessariamente i due segni devono essere o entrambi 1 o entrambi -1, e dunque \textrm{sgn}(\alpha) = \textrm{sgn}(\beta)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma=\tau_{1} \ldots \tau_{k} dove \forall j \in [1, k] \quad \tau_{j} = \tau_{j, j + 1}, dunque tutte le trasposizioni sono adiacenti
• Th
  • \textrm{sgn}(\sigma)= (-1)^k
• Dim
  • \tau_{i, i + 1}=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & \cdots & i & & i + 1 & \cdots & n \\ 1 & \cdots & i + 1 & & i & \cdots & n\end{array}\right) è una trasposizione adiacente
  • \sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & \cdots & i & & i + 1 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(i) & & \sigma(i + 1) & \cdots & \sigma(n) \end{array}\right) è una permutazione
  • allora \sigma \tau_{i, i + 1}=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & \cdots & i & & i + 1 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \cdots & \sigma(i + 1) & & \sigma(i) & \cdots & \sigma(n) \end{array}\right)
  • \forall i \in [1, n] \quad i \lt i + 1 \implies \sigma \tau_{i, i + 1}(i + 1) \gt \sigma \tau_{i, i + 1}(i) \iff (i, i + 1) \in \textrm{Inv}(\sigma \tau_{i, i + 1}) per definizione
  • allora \textrm{Inv}(\sigma \tau_{i, i + 1})=\left\{\begin{array}{ll}\operatorname{Inv}(\sigma) \cup\{(i, i+1)\} & (i, i+1) \notin \operatorname{Inv}(\sigma) \\ \operatorname{Inv}(\sigma)-\{(i, i+1)\} & (i, i+1) \in \operatorname{Inv}(\sigma)\end{array}\right.
  • dunque |\textrm{Inv}(\sigma \tau_{i, i + 1}) | = | \textrm{Inv}(\sigma) | \pm 1 \iff (-1)^{\mid \textrm{Inv}(\sigma \tau_{i, i + 1})\mid} = (-1)^{\mid \textrm{Inv}(\sigma) \mid \pm 1} \iff \textrm{sgn}(\sigma \tau_{i, i + 1}) = - \textrm{sgn}(\sigma), poiché \pm 1 all’esponente di (-1) ne invertirà il segno
  • dunque aggiungendo o togliendo una trasposizione adiacente ad una permutazione, si inverte il segno della composizione
  • \sigma =\tau_{1} \ldots \tau_{k} \implies \textrm{id} = \sigma \tau_k \ldots \tau_1 poiché ogni trasposizione è l’inversa di sé stessa, e dunque \textrm{sgn}(\textrm{id}) = 1 = \textrm{sgn}(\sigma \tau_k \ldots \tau_1)= -\textrm{sgn}(\sigma \tau_k \ldots \tau_2) = \textrm{sgn}(\sigma \tau_k \ldots \tau_3) = \ldots = (-1)^k \cdot \textrm{sgn}(\sigma), poiché sono state rimosse esattamente k trasposizioni adiacenti
  • allora (-1)^k \cdot \textrm{sgn}(\sigma) = \textrm{sgn}(\textrm{id}) = 1
  • \textrm{sgn}(\sigma) = \pm 1, e poiché (-1)^k \cdot \textrm{sgn}(\sigma) = 1, allora necessariamente \textrm{sgn}(\sigma) = (-1)^k

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma, \sigma^{\prime} \in \mathcal{S}_n | \left\{\begin{array}{l}\sigma = \tau_1 \ldots \tau_k \\ \sigma ' = \tau_1^{\prime} \ldots \tau_h^{\prime}\end{array}\right., dove ogni trasposizione è adiacente
• Th
  • \operatorname{sgn}\left(\sigma \sigma^{\prime}\right)=\operatorname{sgn}(\sigma)\cdot \textrm{sgn}(\sigma ')
• Dim
  • \sigma \sigma^\prime = \tau_1 \ldots \tau_k \cdot \tau_1^\prime \ldots \tau_h^\prime, dunque il numero di trasposizioni adiacenti di \sigma \sigma^\prime è k + h
  • per dimostrazione precedente \textrm{sgn}(\sigma \sigma^\prime) = (-1)^ {k + h} = (-1)^k \cdot (-1)^h = \textrm{sgn}(\sigma) \cdot \textrm{sgn}(\sigma^\prime)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n
• Th
  • \textrm{sgn}(\sigma^{-1})=\textrm{sgn}(\sigma)
• Dim
  • \left.\begin{array}{l}\operatorname{sgn}(\textrm{id})=1 \\ \sigma \sigma^{-1}=\textrm{id} \implies \operatorname{sgn}\left(\sigma \sigma^{-1}\right)=\textrm{sgn}(\textrm{id}) \\ \operatorname{sgn}\left(\sigma \sigma^{-1}\right)=\operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \operatorname{sgn}\left(\sigma^{-1}\right)\end{array}\right\} \implies \textrm{sgn}(\sigma) \cdot \textrm{sgn}(\sigma^{-1})= 1 \implies \textrm{sgn}(\sigma^{-1}) = \textrm{sgn}(\sigma)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma, \sigma^\prime \in \mathcal{S}_n
  • \sigma \sim \sigma ^\prime \iff \exists\alpha \in \mathcal{S}_n \mid \sigma^\prime = \alpha \sigma \alpha^{-1}
• Th
  • \textrm{sgn}(\sigma^\prime) = \textrm{sgn}(\sigma)
• Dim
  • \sigma \sim \sigma' \implies \textrm{sgn}(\sigma^\prime) = \textrm{sgn}(\alpha)\cdot \textrm{sgn}(\sigma)\cdot \textrm{sgn}(\alpha^{-1})
  • per dimostrazione precedente \forall \alpha \in \mathcal{S}_n \quad \textrm{sgn}(\alpha)= \textrm{sgn}(\alpha^{-1}), dunque entrambe 1 o entrambe -1
  • quindi \textrm{sgn}(\alpha) \cdot \textrm{sgn}(\alpha^{-1}) = 1 \implies \textrm{sgn}(\sigma^\prime) = \textrm{sgn}(\sigma)

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma, \sigma^\prime \in \mathcal{S}_n \mid \left \{ \begin{array}{l} \sigma := \gamma_1 \ldots \gamma_k \\ \sigma^\prime := \gamma_1^\prime \ldots \gamma_h^\prime \end{array} \right. siano le loro decomposizioni in cicli
  • \sigma \sim \sigma ^\prime \iff \exists\alpha \in \mathcal{S}_n \mid \sigma^\prime = \alpha \sigma \alpha^{-1}, che costituisce dunque la relazione di coniugio
• Th
  • \sigma \sim \sigma ^\prime \iff\left\{\begin{array}{c}k=h \\ d_1=d_{1}^{\prime} \\ \vdots \\ d_{k}=d_{h}^{\prime}\end{array}\right., dove d_j è la lunghezza del ciclo \gamma_j e d_j^\prime è la lunghezza del ciclo \gamma_j^\prime
• Dim
  • prima implicazione
    • \sigma \sim \sigma^\prime \iff \exists\alpha \in \mathcal{S}_n \mid \sigma^\prime = \alpha \sigma \alpha^{-1}
    • \forall i_1, \ldots, i_d \mid (i_1 \ldots i_d) è un ciclo di \sigma, per la relazione di coniugio si ottiene che \sigma^\prime(\alpha(i_j))=(\alpha \sigma \alpha^{-1})(\alpha(i_j))= (\alpha\sigma)(i_j)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha\left(i_{j+1}\right) & j<d \\ \alpha\left(i_{1}\right) & j=d\end{array}\right. \implies la relazione di coniugio determina un ciclo in \sigma^\prime della forma (\alpha(i_1) \ldots \alpha(i_d))
    • allora, vi è una corrispondenza biunivoca tra cicli di \sigma e \sigma^\prime, e dunque necessariamente \sigma e \sigma' devono avere lo stesso numero di cicli, ovvero h = k, e i cicli devono avere stessa lunghezza, e dunque \left\{\begin{array}{c} d_1=d_{1}^{\prime} \\ \vdots \\ d_{k}=d_{h}^{\prime}\end{array}\right.
  • seconda implicazione
    • \sigma = (i_1 \ldots i_{d_1}) \ldots (j_1 \ldots j_{d_k}) è la decomposizione in cicli di \sigma
    • \sigma^\prime =(a_1 \ldots a_{d_1}) \ldots (b_1 \ldots b_{d_k}) è la decomposizione in cicli di \sigma'
    • poiché in ipotesi \sigma e \sigma' hanno stesso numero di cicli, e cicli di stessa lunghezza, allora \exists \alpha \in \mathcal{S}_n \mid\left\{\begin{array}{c}\alpha\left(i_{p}\right)=a_{p} \\ \vdots \\ \alpha\left(j_{q}\right)=b_{q}\end{array}\right.
      • esempio
        • \begin{aligned} \sigma\ =\ &(13)(254)(876) \\ & \ \downarrow \downarrow \ \ \ \downarrow \downarrow \downarrow \ \ \ \downarrow \downarrow \downarrow \\ \sigma^{\prime}=\ &(25)(184)(376) \end{aligned} \implies\alpha=\left(\begin{array}{llllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 1 & 5 & 4 & 8 & 6 & 7 & 3\end{array}\right)
    • scelto \alpha \in \mathcal{S}_n in questo modo, allora ad esempio \forall i_p \in (i_1 \ldots i_{d_1}) primo ciclo di \sigma \quad i_p = \alpha^{-1}(a_p) per definizione di \alpha \implies \alpha \sigma \alpha^{-1} (a_p) = \alpha \sigma (i_p) =\left\{\begin{array}{ll}\alpha\left(i_{p+1}\right) & p<d_1 \\ \alpha\left(i_{1}\right) & p=d_{1}\end{array}\right. = \left\{\begin{array}{ll}a_{p+1} & p<d_{1} \\ a_{1} & p=d_{1}\end{array}\right. = \sigma^\prime(a_p) per definizione di \sigma^\prime
    • poiché in questa osservazione non è stato fatto uso dell’ipotesi per cui i_p fosse stato scelto all’interno del primo ciclo, il ragionamento vale analogamente per ogni altro elemento in ogni altro ciclo
    • allora, \alpha è proprio scelto tale che \sigma^\prime = \alpha \sigma \alpha ^{-1} \iff \sigma \sim \sigma'

• Gruppo alterno

• n \in \mathbb{N}
• \mathcal{A}_n := \{\sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma pari\} è detto gruppo alterno di ordine n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • \mathcal{A}_n \trianglelefteq \mathcal{S}_n
• Dim
  • \textrm{sgn}(\textrm{id}) = (-1)^0 = 1, in quanto \textrm{id} non ha inversioni, dunque \textrm{id} \in \mathcal{A}_n
  • \sigma, \sigma' \in \mathcal{A}_n \implies \textrm{sgn}(\sigma)=\textrm{sgn}(\sigma')=1 \implies \textrm{sgn}(\sigma)\cdot\textrm{sgn}(\sigma') = 1 = \textrm{sgn}(\sigma \sigma') per dimostrazione precedente \implies \sigma \sigma' \in \mathcal{A}_n
  • \sigma \in \mathcal{A}_n \implies \textrm{sgn}(\sigma) = 1 = \textrm{sgn}(\sigma^{-1}) per dimostrazione predecente \implies \sigma^{-1} \in \mathcal{A}_n
  • \sigma \in \mathcal{S}_n, \alpha \in \mathcal{A}_n \implies \left \{ \begin{array}{l} \textrm{sgn}(\sigma \alpha \sigma^{-1}) = \textrm{sgn}(\sigma) \cdot \textrm{sgn}(\alpha) \cdot \textrm{sgn}(\sigma^{-1}) = \textrm{sgn}(\sigma) \cdot \textrm{sgn}(\sigma^{-1}) = 1 \\ \textrm{sgn}(\alpha) = 1 \end{array} \right. \implies \sigma \alpha \sigma^{-1} \in \mathcal{A}_n \implies \mathcal{A}_n \trianglelefteq \mathcal{S}_n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
• Th
  • |\mathcal{A}_n| = \dfrac{n!}{2}
• Dim
  • \mathcal{A}_n \trianglelefteq \mathcal{S}_n \implies \mathcal{S}_n/\mathcal{A}_n è ben definito
  • in particolare, considerando la relazione di classe laterale sinistra, si ha che \forall \sigma, \sigma' \in \mathcal{S}_n \quad \sigma \sim_S \sigma' \iff \sigma^{-1}\sigma' \in \mathcal{A}_n \iff \textrm{sgn}(\sigma^{-1}\sigma') = 1 = \textrm{sgn}(\sigma^{-1})\cdot \textrm{sgn}(\sigma)=\textrm{sgn}(\sigma)\cdot\textrm{sgn}(\sigma') \iff \textrm{sgn}(\sigma) = \textrm{sgn}(\sigma')
  • poiché \textrm{sgn}(\sigma) = \pm 1 per definizione, si ha che \mathcal{S}_n/\mathcal{A}_n=\{[\textrm{id}]_{+1}, [\alpha]_{-1}\}, dove \alpha è dispari, e in particolare |\mathcal{S}_n/\mathcal{A}_n| = 2
  • inoltre, per il teorema di Lagrange si ha che |\mathcal{S}_n| = |\mathcal{A}_n| \cdot |\mathcal{S}_n/\mathcal{A}_n| \iff |\mathcal{A}_n| = \dfrac{|\mathcal{S}_n|}{|\mathcal{S}_n/\mathcal{A}_n|} = \dfrac{n!}{2}

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \sigma \in \mathcal{S}_n \mid \sigma := \gamma_1 \ldots \gamma_k sia la sua decomposizione in cicli
• Th
  • \textrm{sgn}(\sigma)=(-1)^{n - k}
• Dim
  • \sigma = (i_1 \ldots i_{d_1})(i_{d_1+ 1} \ldots i_{d_2}) \ldots (j_1 \ldots j_{d_k})
  • \forall \sigma \in \mathcal{S}_n \quad \exists \sigma' \in \mathcal{S}_n \mid \sigma^\prime := (1 \ldots d_1)(d_1 + 1 \ldots d_1 + d_2) \ldots (n -d_k + 1 \ldots n)
  • dunque \sigma^\prime è composta da cicli lunghi esattamente quanto i cicli di \sigma, ma ha i numeri da 1 a n in sequenza nei cicli
  • allora \sigma^{\prime}=\left(\begin{array}{cccccccccccc}1 & 2 & \cdots & d_{1} & d_{1}+1 & \cdots & d_{1}+d_{2} & \cdots & \cdots & n - d_k + 1 & \cdots & n \\ 2 & 3 & \cdots & 1 & d_{1}+2 & \cdots & d_{1}+1 & \cdots & \cdots & n - d_k + 2 & \cdots & n - d_k + 1\end{array}\right)
    • si noti che, ad esempio, per portare 1 nella prima colonna, è necessario applicare d_1 - 1 trasposizioni adiacenti, o analogamente per portare d_1 + 1 nella colonna corretta, è necessario applicare d_1 + d_2 - (d_1 + 1) = d_1 + d_2 - d_1 - 1 = d_2 - 1 trasposizioni adiacenti, e vale il ragionamento analogo per ogni altro ciclo
    • esempio
      • nel ciclo (2 \ 3 \ 4\ 5\ 6\ 1) è necessario applicare 6 - 1 = 5 trasposizioni adiacenti per ottenere (1\ 2\ 3\ 4\ 5 \ 6), e il ciclo è lungo 6
  • allora, per ottenere \textrm{id} a partire da \sigma^\prime, bisogna applicare (d_1 -1) + (d_2 - 1) + \ldots + (d_k - 1) trasposizioni adiacenti, ovvero d_1 + \ldots + d_k - 1 \cdot k
  • si noti che d_1 + \ldots + d_k è la somma delle lunghezze dei cicli di \sigma^\prime \in \mathcal{S}_n, dunque è pari a n
  • allora si hanno d_1 + \ldots + d_1 - 1 \cdot k = n - k trasposizioni adiacenti
  • di conseguenza, \textrm{id} = \sigma^\prime \tau_1 \ldots \tau_{n -k} \iff \sigma^\prime = \tau_{n - k} \ldots \tau_1 \implies \textrm{sgn}(\sigma^\prime) = \textrm{sgn}(\tau_{n-k} \ldots \tau_1)= (-1)^{n -k} per dimostrazione precedente
  • poiché \sigma e \sigma^\prime hanno lo stesso numero di cicli, e i cicli hanno la stessa lunghezza, allora \sigma \sim \sigma^\prime \implies \textrm{sgn}(\sigma^\prime)=\textrm{sgn}(\sigma) per dimostrazione precedente, e dunque \textrm{sgn}(\sigma') = \textrm{sgn}(\sigma)=(-1)^{n - k}