• Spazio vettoriale

• V insieme
• \mathbb{K} campo
• +: V \times V \rightarrow V
• \cdot : \mathbb{K} \times V \rightarrow V
• V è detto spazio vettoriale su \mathbb{K} \iff
  • (V, +) gruppo abeliano
  • \exists 1 \in \mathbb{K} \mid \forall v \in V \quad 1v = v
    • in particolare, deve esistere l’elemento neutro per il prodotto per scalare
  • \forall u, v \in V, k \in \mathbb{K} \quad k(u + v) = ku + kv
    • in particolare, deve valere la proprietà distributiva a destra del prodotto per scalare
  • \forall v \in V, k, h \in \mathbb{K} \quad (k + h)v = kv + hv
    • in particolare, deve valere la proprietà distributiva a sinistra del prodotto per scalare
  • \forall v \in V, k, h \in \mathbb{K} \quad (kh)v = k(hv)
    • in particolare, deve valere la proprietà associativa del prodotto per scalare
• x \in \mathbb{K} è detto scalare
• x \in V è detto vettore

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \mathbb{K} campo
• Th
  • \mathbb{K}^n spazio vettoriale su \mathbb{K}, ed è detto spazio di coordinate
• Dim
  • \forall v \in \mathbb{K}^n \quad \exists t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{K} \mid v = (t_1, \ldots, t_n)
  • \forall w \in \mathbb{K}^n \quad \exists s_1, \ldots, s_n \in \mathbb{K} \mid w = (s_1, \ldots, s_n)
  • \forall \lambda \in \mathbb{K} \quad \lambda \cdot v := (\lambda \cdot t_1, \ldots, \lambda \cdot t_n)
  • v + w := (s_1 + t_1, \ldots, s_n + t_n)
  • avendo definito + e \cdot in questo modo, gli assiomi di spazio vettoriale sono rispettati necessariamente

• Sottospazio vettoriale

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• W \subseteq V
• W \subset V è detto sottospazio vettoriale di V \iff
  • (W, +) \leqslant (V, +)
  • \mathbb{K} \cdot W \subseteq W

• Span di vettori

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n \in V
• \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) := \{\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n \mid \lambda_1, \ldots , \lambda_n \in \mathbb{K}\} è detto span degli v_1, \ldots v_n
  • in particolare, costituisce l’insieme delle combinazioni lineari degli v_1, \ldots, v_n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \mathbb{K} campo
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • v_1, \ldots, v_n \in V
• Th
  • \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) \subset V sottospazio vettoriale
• Dim
  • (\textrm{span}(v_1, \ldots, v_n), +) \leqslant (V, +)
    • 0_V = 0v_1 + \ldots + 0v_n \implies 0 \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n)
    • \forall u, v \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) \quad \exists \lambda_1, \ldots , \lambda_n, \mu_1 \ldots \mu_n \in \mathbb{K} \mid \left \{ \begin{array}{l}u= \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_n v_n \\ w = \mu_1 v_1+ \ldots + \mu_nv_n \end{array} \right. \implies v + w = (\lambda_1 \mu_1) v_1 + \ldots + (\lambda_n \mu_n) v_n \implies v + w \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n)
    • \forall u \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) \quad \exists \lambda_1 , \ldots \lambda_n \in \mathbb{K} \mid u = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n \iff - u = (-\lambda _1) v_1 + \ldots + (- \lambda_n) v_n \implies -u \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n)
  • \forall w \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) \quad \exists \lambda_1 , \ldots , \lambda_n \in \mathbb{K} \mid w = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n \implies \forall c \in \mathbb{K} \quad c\cdot w = c \cdot (\lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_n v_n) =(c\lambda_1) v_1 + \ldots + (c\lambda_n) v_n \implies c\cdot w \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n)

• Generatori di uno spazio vettoriale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n \in V
• v_1, \ldots, v_n sono detti generatori di V \iff V \subseteq \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n)
  • equivalentemente, ogni vettore in V è una combinazione lineare degli v_1, \ldots, v_n
  • si noti che è sempre vero che \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) \subseteq V, di conseguenza è possibile considerare nella definizione \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) = V senza perdita di generalità

• Indipendenza lineare

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n \in V - \{0_V\}
• v_1, \ldots, v_n sono detti linearmente indipendenti \iff
  • \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n = 0_V \iff \lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0_{\mathbb{K}}
  • equivalentemente, nessuno degli v_1, \ldots, v_n è combinazione lineare degli altri
  • si noti che il secondo verso dell’implicazione è sempre verificato

• Base di uno spazio vettoriale

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n \in V - \{0_V\}
• v_1, \ldots, v_n costituiscono una base di V \iff v_1, \ldots, v_n linearmente indipendenti e generatori di V
  • in particolare, n è detta cardinalità della base v_1, \ldots, v_n

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • \mathbb{K} campo
  • \left \{ \begin{array}{c} e_1 := (1, 0, \ldots, 0) \\ \vdots \\e_n :=(0, \ldots, 0, 1) \end{array} \right. \in \mathbb{K}^n
• Th
  • e_1, \ldots, e_n sono una base di \mathbb{K}^n, ed è detta base canonica
• Dim
  • e_1, \ldots, e_n sono generatori di \mathbb{K}^n
    • \forall v \in \mathbb{K}^n \quad \exists t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{K} \mid v = (t_1, \ldots, t_n) \implies v = (t_1, 0, \ldots, 0) + \ldots + (0, \ldots, 0, t_n) = t_1 \cdot e_1 + \ldots + t_n \cdot e_n \implies v \in \textrm{span}(e_1, \ldots, e_n)
  • e_1, \ldots, e_n sono linearmente indipententi
    • \forall \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \quad \left \{ \begin{array}{c} \lambda_1e_1=(\lambda_1, 0, \ldots, 0) \\ \vdots \\\lambda_n e_n = (0, \ldots, 0, \lambda_n) \end{array} \right. \implies \lambda_1 e_1 + \ldots + \lambda_n e_n = (\lambda_1, \ldots , \lambda_n), e questo vettore è pari al vettore nullo 0_{\mathbb{K}^n} solamente quando \lambda _1 = \ldots = \lambda_n = 0_{\mathbb{K}}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • v_1, \ldots, v_n \in V - \{0_V\}
• Th
  • v_1, \ldots, v_n linearmente indipendenti \iff v_1, \ldots, v_{n - 1} linearmente indipendenti \land v_n \notin \textrm{span}(v_1, \ldots, v_{n - 1})
• Dim
  • prima implicazione
    • omessa dal professore
  • seconda implicazione
    • per assurdo \exists \lambda_n \in \mathbb{K} - \{0\}, \lambda_1, \ldots, \lambda_{n - 1} \in \mathbb{K} \mid \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n = 0_V \iff -\lambda_n v_n = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_{n-1} v_{n-1} \iff v_n = (-\lambda_n^{-1})\lambda_1 v_1 + \ldots + (-\lambda_n^{-1})\lambda_{n - 1}v_{n - 1} \iff v_n \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_{n - 1}) \ \bot \implies \lambda_n = 0_{\mathbb{K}}
    • v_1, \ldots, v_{n - 1} linearmente indipendenti \implies \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1} \mid \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_{n - 1} v_{n - 1} = 0_V \implies \lambda_1 = \ldots = \lambda_{n - 1} = 0_{\mathbb{K}} = \lambda_n \implies v_1, \ldots, v_n linearmente indipendenti

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n, k \in \mathbb{N}
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • w_1, \ldots, w_n \in V
  • v_1, \ldots, v_k \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) \mid v_1, \ldots, v_k linearmente indipendenti
• Th
  • k \le n
• Dim
  • dimostrazione per induzione sui k vettori
  • caso base
    • bisogna dimostrare che per i = 1 vettori linearmente indipendenti si ha che \textrm{span}(v_1, w_2, \ldots, w_n) = \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n)
      • la tesi equivale a dimostrare che v_1 e w_1 sono intercambiabili nello span
      • v_1 \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) - \{0_V\} \iff \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid v_1 = \lambda_1 w_1 + \ldots + \lambda_n w_n, e in particolare v_1 \neq 0_V \iff \exists i \in [1, n] \mid \lambda_i \neq 0
      • a meno di riordinamento, si può assumere \lambda_1 \neq 0
      • allora v_1 = \lambda_1 w_1 + \ldots + \lambda_n w_n \iff \lambda_1w_1 = v_1 + (-\lambda_2w_2) + \ldots + (-\lambda_nw_n) \iff w_1 = (\lambda_1^{-1})v_1 + (-\lambda_1^{-1}\lambda_2)w_2 + \ldots + (-\lambda_1^{-1}\lambda_n)w_n \implies w_1 \in \textrm{span}(v_1, w_2, \ldots, w_n)
    • \textrm{span}(v_1, w_2, \ldots, w_n) \subseteq \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n)
      • u \in \textrm{span}(v_1, w_2, \ldots, w_n) \iff \exists \mu_1, \ldots \mu_n \in \mathbb{K} \mid u = \mu_1 v_1 + \mu_2 w_2 + \ldots + \mu_n w_n = \mu_1(\lambda_1 w_1 + \ldots + \lambda_nw_n) + \mu_2w_2 + \ldots + \mu_nw_n = (\mu_\ \lambda_1)w_1+(\mu_1 \lambda_2 \mu_2)w_2 + \ldots + (\mu_1\lambda_n\mu_n)w_n \implies u \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n)
    • \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) \subseteq \textrm{span}(v_1, w_2, \ldots, w_n)
      • siano \mu_1, \ldots, \mu_n \in \mathbb{K} \mid w_1 = \mu_1 v_1 + \mu_2 w_2 + \ldots + \mu_n w_n
      • u \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) \iff \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid u = \lambda_1 w_1 + \ldots + \lambda_n w_n = \lambda_1 (\mu_1 v_1 + \mu_2 w_2 + \ldots + \mu_n w_n) + \lambda_2 w_2 + \ldots + \lambda_nw_n = (\lambda_1 \mu_1)v_1 + (\lambda_1 \mu_2 \lambda_2)w_2 + \ldots + (\lambda_1 \mu_n \lambda_n)w_n \implies u \in \textrm{span}(v_1, w_2, \ldots, w_n)
  • ipotesi induttiva forte
    • si assume che per 1 \le i \le n vettori linearmente indipendenti si ha che \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, w_{i + 1}, \ldots, w_n) = \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n)
      • l’ipotesi equivale a supporre che v_1, \ldots, v_i e w_1, \ldots, w_i siano intercambiabili nello span
  • passo induttivo
    • bisogna dimostrare che per i + 1 \le n vettori linearmente indipendenti si ha che \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, v_{i + 1}, w_{i + 2}, \ldots, w_n) = \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n)
      • la tesi equivale a dimostrare che, assumendo l’ipotesi induttiva forte, v_{i + 1} e w_{i + 1} sono intercambiabili
      • v_{i + 1} \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) = \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, w_{i + 1}, \ldots, w_n) \iff \exists \mu_1, \ldots, \mu_i, \lambda_{i + 1}, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid v_{i + 1} = \mu_1 v_1 + \ldots + \mu_i v_i + \lambda_{i + 1}w_{i + 1} + \ldots + \lambda_nw_n
      • per assurdo, ipotizzando \lambda_{i + 1} = \ldots = \lambda_n = 0_{\mathbb{K}} \implies v_{i + 1} = \mu_1 v_1 + \ldots + \mu_n v_i \implies v_1, \ldots, v_{i + 1} non sarebbero linearmente indipendenti \bot
      • allora \exists j \in [i + 1, n] \mid \lambda_j \neq 0, e in particolare v_{i + 1} \neq 0_V
      • a meno di riordinamento, si può assumere \lambda_{i + 1} \neq 0
      • allora v_{i + 1} = \mu_1 v_1 + \ldots + \mu_i v_i + \lambda_{i + 1} w_{i + 1}+ \ldots + \lambda_nw_n \iff\lambda_{i + 1}w_{i + 1} = v_{i + 1} + (-\mu_1v_1) + \ldots + (-\mu_iv_i) + (-\lambda_{i + 2}w_{i + 2}) + \ldots + (-\lambda_nw_n) \iff w_{i + 1} = (\lambda_{i + 1}^{-1})v_{i + 1} + (-\lambda_{i + 1}^{-1}\mu_1)v_1 + \ldots + (-\lambda_{i +1}^{-1}\mu_i)v_i + (-\lambda_{i + 1}^{-1}\lambda_{i + 2})w_{i + 2} + \ldots + (-\lambda_{i + 1}^{-1}\lambda_n)w_n \implies w_{i + 1} \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, v_{i + 1}, w_{i + 2}, \ldots w_n)
    • \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, v_{i + 1}, w_{i + 2}, \ldots, w_n) \subseteq \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n)
      • u \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, v_{i + 1}, w_{i + 2} \ldots , w_n) \iff \exists \eta_1, \ldots, \eta_i, \eta_{i + 1}, \varepsilon_{i + 2}, \dots, \varepsilon_n \in \mathbb{K} \mid u = \eta_1v_1 + \ldots + \eta_iv_i + \eta_{i + 1}v_{i +1} + \varepsilon_{i + 2}w_{i + 2} + \ldots + \varepsilon_nw_n =\eta_1v_1 + \ldots+\eta_iv_i+\eta_{i +1}(\mu_1v_1 + \ldots + \mu_iv_i + \lambda_{i + 1}w_{i + 1} + \ldots + \lambda_nw_n)+ \varepsilon_{i + 2}w_{i + 2} + \ldots + \varepsilon_nw_n = (\eta_1\eta_{i+1}\mu_1)v_1+ \ldots + (\eta_i\eta_{i + 1}\mu_i)v_i+(\eta_{i + 1}\lambda_{i + 1})w_{i + 1} +(\varepsilon_{i + 2}\eta_{i + 1}\lambda_{i + 1})w_{i + 2} + \ldots + (\varepsilon_n\eta_{i + 1}\lambda_n)w_n \implies u \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, w_{i + 1}, \ldots, n) = \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) per ipotesi induttiva
    • \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) \subseteq \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, v_{i + 1}, w_{i + 2}, \ldots, w_n)
      • siano \eta_1, \ldots, \eta_i, \eta_{i + 1}, \varepsilon_{i + 2} \ldots, \varepsilon_n \in \mathbb{K} \mid w_{i + 1} = \eta_1 v_1 + \ldots + \eta_iv_i + \eta_{i + 1} v_{i + 1} + \varepsilon_{i + 2}w_{i + 2} + \ldots +\varepsilon_nw_n
      • u \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) = \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, w_{i + 1}, \ldots, w_n) per ipotesi induttiva \implies \exists \mu_1, \ldots, \mu_i, \lambda_{i + 1}, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid u = \mu_1v_1 + \dots + \mu_iv_i+ \lambda_{i + 1}w_{i + 1} + \ldots + \lambda_nw_n = \mu_1 v_1 + \ldots + \mu_i v_i + \lambda_{i + 1}(\eta_1 v_1 + \ldots + \eta_iv_i + \eta_{i + 1} v_{i + 1} + \varepsilon_{i + 2}w_{i + 2} + \ldots +\varepsilon_nw_n) + \lambda_{i + 2}w_{i + 2} + \ldots + \lambda_nw_n =(\mu_1\lambda_{i + 1}\eta_1)v_1 + \ldots + (\mu_i\lambda_{i + 1}\eta_i)v_i + (\lambda_{i + 1}\eta_{i + 1})v_{i + 1} + (\lambda_{i + 2}\lambda_{i+1}\varepsilon_{i + 2})w_{i + 2} + \ldots + (\lambda_n\lambda_{i + 1}\varepsilon_n)w_n \implies u \in \textrm{span}(v_1, \ldots, v_i, v_{i + 1}, w_{i + 2}, \ldots w_n)
  • allora l’ipotesi induttiva è verificata, e per il caso i = n si ha che \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) = \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n)
  • per assurdo \exists v_{n + 1} \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) \mid v_{n + 1} linearmente indipendente con v_1, \ldots, v_n, allora v_{n + 1} \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) = \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) \implies v_{n + 1} è combinazione lineare degli altri \bot
  • allora necessariamente k \le n

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n, m \in \mathbb{N}
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • w_1, \ldots, w_m \in V \mid w_1, \ldots, w_m base di V
  • v_1, \ldots, v_n \in V \mid v_1, \ldots, v_n base di V
• Th
  • n = m, il che implica che la cardinalità delle basi di uno spazio vettoriale è unica
• Dim
  • v_1, \ldots, v_n e w_1, \ldots, w_m basi di V \implies \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) = \textrm{span}(w_1, \ldots, w_m) = V poiché generatori di V
  • v_1, \ldots, v_n e w_1, \ldots, w_m basi di V \implies v_1, \ldots, v_n e w_1, \ldots w_m linearmente indipendenti
    • v_1, \ldots , v_n \in V = \textrm{span}(w_1, \ldots, w_m) \implies n \le m per dimostrazione precedente
    • w_1, \ldots, w_m \in V = \textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) \implies m \le n per dimostrazione precedente
  • dunque necessariamente n = m

• Dimensione di uno spazio vettoriale

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n base di V
• \dim(V) = n è detta dimensione di V
  • in particolare, coincide con la cardinalità delle basi di V, che per dimostrazione precedente è unica
• V si dice avere dimensione infinita \iff non esiste un insieme finito di generatori in V

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • \mathbb{K}[x]_{\le n} := \{p(x) \in \mathbb{K}[x] \mid \deg(p(x)) \le n\}
• Th
  • \mathbb{K}[x]_{\le n} spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • \dim(\mathbb{K}[x]_{\le n}) = n + 1
• Dim
  • sia p(x) \in \mathbb{K}[x]_{\le n} \mid \deg(p(x)) = n
  • allora \exists a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{K} \mid p(x) = a_0x^0 + \ldots + a_nx^n, che di fatto costituisce una combinazione lineare dei x^0, \ldots, x^n attraverso i coefficienti a_0, \ldots, a_n
  • allora, si vede facilmente che \{1, x, x^2, \ldots, x^n\} costituiscono una base di \mathbb{K}[x]_{\le n}, il che implica che \dim(\mathbb{K}[x]_{\le n}) = n + 1
    • si noti che di fatto si ha n + 1 per via del termine noto nei polinomi
    • inoltre, questo dimostra che \mathbb{K}[x] ha dimensione infinita, poiché non c’è limite al grado di un polinomio in \mathbb{K}[x], dunque la cardinalità delle basi è necessariamente infinita

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • v_1, \ldots, v_n \in V
• Th
  • v_1, \ldots, v_n base di V \iff \forall v \in V \quad \exists ! \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid v = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n
• Dim
  • prima implicazione
    • esistenza
      • v_1, \ldots, v_n base di V, allora per definizione \forall v \in V \quad \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid v = \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_n v_n
    • unicità
      • per assurdo \forall v \in V \quad \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n , \mu_1, \ldots, \mu_n \in \mathbb{K} \mid \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n = v = \mu_1 v_1 + \ldots + \mu_n v_n \iff \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n + (-\mu_1 ) v_1 + \ldots + (-\mu_n) v_n = 0_V \iff (\lambda_1 - \mu_1) v_1 + \ldots + (\lambda_n - v_n) v_n = 0_V
      • v_1, \ldots, v_n base di V \implies v_1, \ldots, v_n linearmente indipendenti, allora (\lambda_1 - \mu_1) v_1 + \ldots + (\lambda_n - \mu_n) v_n = 0_V \implies \lambda_1 - \mu_1 = \ldots = \lambda_n - \mu_n = 0_{\mathbb{K}} \iff \left \{ \begin{array}{c} \lambda_1 = \mu_1 \\ \vdots \\ \lambda_n = \mu_n \end{array} \right.
  • seconda implicazione
    • omessa dal professore

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • W spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • n:= \dim(W)
  • k \in \mathbb{N} \mid k \lt n
  • w_1, \ldots, w_k \in W linearmente indipendenti
• Th
  • \exists w_{k + 1}, \ldots, w_n \in W \mid w_1, \ldots, w_n base di W
• Dim
  • k \lt n \implies \textrm{span}(w_1, \ldots, w_k) \subsetneqq W \implies \exists w_{k + 1} \in W \mid w_{k + 1} \notin \textrm{span}(w_1, \ldots, w_k), allora per dimostrazione precedente w_1, \ldots, w_{k +1} sono linearmente indipendenti
  • per ragionamento analogo, è possibile estendere w_1, \ldots, w_{k + 1} fino ad avere w_1, \ldots, w_n vettori linearmente indipendenti
  • sia v_1, \ldots, v_n base di W
  • per dimostrazione precedente, poiché w_1, \ldots, w_n e v_1, \ldots, v_n linearmente indipendenti, si ha che W=\textrm{span}(v_1, \ldots, v_n) = \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) \implies w_1, \ldots, w_n base di W
    • si noti che, per lo stesso teorema, non è possibile avere w_{n + 1} \in W \mid w_1, \ldots, w_{n +1} siano linearmente indipendenti

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • W spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • n := \dim(W)
  • m \in \mathbb{N} \mid m \ge n
  • w_1, \ldots, w_m \in W \mid w_1, \ldots, w_m generatori di W
• Th
  • \exists 1 \le i_1, \ldots, i_n \le m \mid w_{i_1}, \ldots, w_{i_n} base di W
• Dim
  • è possibile assumere che w_{i_1} non sia nullo, poiché w_1, \ldots, w_m sono sicuramente non tutti nulli in quanto generatori di W
  • w_{i_1} \neq 0 \implies w_{i_1} linearmente indipendente, ma non può costituire un generatore poiché sono meno di n vettori \implies \textrm{span}(w_{i_1}) \subsetneqq W \implies \exists w_{i_2} \in W \mid w_{i_2} \notin \textrm{span}(w_{i_1}), allora per dimostrazione precedente w_{i_1}, w_{i_2} linearmente indipendenti
  • è possible ripetere il ragionamento fino ad ottenere esattamente n vettori, ottenendo w_{i_1}, \ldots, w_{i_n} vettori linearmente indipendenti
    • analogamente al teorema precedente, non è possibile ripetere il ragionamento n + 1 volte

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • W spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • n:= \dim(W)
  • w_1, \ldots, w_n \in W
• Th
  • w_1, \ldots, w_n linearmente indipendenti \iff w_1, \ldots, w_n generatori di W
• Dim
  • prima implicazione
    • per assurdo, siano w_1, \ldots, w_n linearmente indipendenti ma non generatori di W \implies \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) \subsetneqq W \implies \exists w_{n + 1} \in W \mid w_{n + 1} \notin \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n), ma allora w_1, \ldots, w_{n + 1} linearmente indipendenti, mentre i vettori linearmente indipendenti possono essere al massimo n \bot
  • seconda implicazione
    • ⚠️ da riscrivere non mi piace ed è imprecisa
    • per assurdo, siano w_1, \ldots, w_n generatori di W ma non linearmente indipendenti \implies \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid \lambda_1w_1 + \ldots + \lambda_nw_n = 0_W dove \exists i \in [1, n] \mid \lambda_i \neq 0 \implies w_i = -\lambda_i^{-1} \lambda_1w_1 - \ldots - \lambda_i^{-1} \lambda_nw_n, dunque w_i è combinazione lineare degli altri vettori, in simboli w_i \in \textrm{span}(w_1, \ldots, \hat{w_i}, \ldots, w_n)
    • inoltre w_i \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n), poiché w_1, \ldots, w_n generatori di W, allora \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n) \subseteq \textrm{span}(w_1, \ldots, \hat{w_i}, \ldots, w_n)
    • in generale, per qualsiasi insieme di vettori minore di n si ha che \textrm{span}(w_1, \ldots, \hat{w_i}, \ldots, w_n) \subseteq \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n)
    • allora segue che \textrm{span}(w_1, \ldots, \hat{w_i}, \ldots, w_n) = \textrm{span}(w_1, \ldots, w_n), ma questo non è possibile in quanto w_1, \ldots, \hat{w_i}, \ldots, w_n sono n - 1 generatori, e i generatori non possono essere meno di n \ \bot

• + tra spazi vettoriali

• \mathbb{K} campo
• U, V spazi vettoriali su \mathbb{K}
• U + V := \{u + v \mid u \in U, v \in V\} è detta somma tra U e V

• \cap tra spazi vettoriali

• \mathbb{K} campo
• U, V spazi vettoriali su \mathbb{K}
• U \cap V := \{w \mid w \in U \land w \in V\} è detta intersezione tra U e V

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • W spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • U, V \subset W sottospazi vettoriali
• Th
  • \dim(U + V) = \dim(U) + \dim(V) - \dim(U \cap V)
• Dim
  • k:=\dim(U \cap V)
  • m:=\dim(U)
  • n := \dim (V)
  • sia w_1, \ldots, w_k base di U \cap V
  • \mathcal{B}_1 := \{w_1, \ldots, w_k, u_{k + 1}, \ldots, u_m\} base di U
  • \mathcal{B}_2 := \{w_1, \ldots, w_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n\} base di V
  • \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 := \{w_1, \ldots w_k, u_{k + 1}, \ldots, u_m, v_{k + 1}, \ldots, v_n\}
  • \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 generatori di U + V
    • si noti che \textrm{span}(\mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2) \subseteq U + V
    • w \in U + V \iff \exists u \in U, v \in V \mid w = u + v, allora \left \{ \begin{array}{l}u \in U \implies u := \displaystyle \sum_{i = 1}^k{\lambda_iw_i} + \sum_{j = k + 1}^m{\lambda_j u_j} \\ v \in V \implies \displaystyle v :=\sum_{i = 1}^k{\mu_iw_i} + \sum_{h = k + 1}^n {\mu_hv_h} \end{array} \right.\iff \displaystyle w := u + v =\sum_{i = 1}^k{(\lambda_i + \mu_i)w_i} + \sum_{j = k + 1}^m{\lambda_j u_j} + \sum_{h = k + 1}^n {\mu_hv_h} \iff w := u + v \in \textrm{span}(\mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2) \implies U + V \subseteq \textrm{span}(\mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2) \implies \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 generatori di U + V
  • \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 linearmente indipendenti
    • \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 generatori di U + V \implies \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_k, \mu_{k + 1}, \ldots, \mu_m, \eta_{k + 1}, \ldots, \eta_n \in \mathbb{K} \mid \displaystyle \sum_{i = 1}^k{\lambda_iw_i} +\sum_{j = k +1}^m{\mu_j u_j } +\displaystyle \sum_{h = k + 1} ^n{\eta_hv_h} = 0_W \in U + V
    • siano \left \{ \begin{array}{l}a := \displaystyle \sum_{i = 1}^k{\lambda_iw_i} \\ b := \displaystyle \sum_{j = k +1}^m{\mu_j u_j }\\ c := \displaystyle \sum_{h = k + 1} ^n{\eta_hv_h} \end{array} \right.
    • \left \{ \begin{array}{l}b \in \textrm{span}(u_{k +1 }, \ldots, u_m) \subsetneqq U \implies b \in U \\ a + c \in V \implies -(a + c) \in V \implies b = - a- c \in V \end{array} \right. \implies b \in U \cap V, allora b deve essere generato dalla base w_1, \ldots, w_k di U \cap V \implies \displaystyle \exists \alpha_1, \ldots, \alpha_k \in \mathbb{K} \mid \sum_{j = k +1}^m{\mu_j u_j }=:b = \displaystyle \sum_{i = 1}^k {\alpha_i w_i} \implies \sum_{j = k +1}^m{\mu_j u_j } - \displaystyle \sum_{i = 1}^k {\alpha_i w_i} = 0_W
    • si noti che \displaystyle \sum_{j = k +1}^m{\mu_j u_j } - \sum_{i = 1}^k {\alpha_i w_i} \in \textrm{span}(\mathcal{B}_1) \implies \sum_{j = k +1}^m{\mu_j u_j } - \sum_{i = 1}^k {\alpha_i w_i}= 0_W \iff \mu_{k + 1} = \ldots \mu_m = 0_{\mathbb{K}}=\alpha_1 = \ldots = \alpha_k
    • in particolare, si ha che \forall j \in [k +1, m] \quad \mu_j =0 \implies b = 0_W \implies a + c = 0_W
    • \left \{ \begin{array}{l}a + c = 0_W \\ a + c \in \textrm{span}(\mathcal{B}_2)=V \end{array} \right.\implies \lambda_1 = \ldots = \lambda_k = 0_{\mathbb{K}}=\eta_{k + 1} = \ldots = \eta_n
    • dunque, l’equazione di partenza a + b + c = 0_W è verificata solamente per coefficienti della combinazione lineare nulli, il che implica che i vettori che generano a + b + c, ovvero \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2, sono linearmente indipendenti
  • allora, poiché generatori di U + V e linearmente indipendenti, \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 sono una base di U + V
  • per definizione, la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità delle sue basi, dunque la cardinalità di \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 è pari a k + (m - k) + (n - k) = m + n - k \implies \dim(U + V) = \dim(U) + \dim(V) - \dim(U \cap V)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • W \subset V sottospazio vettoriale
• Th
  • V/W spazio vettoriale su \mathbb{K}
• Dim
  • + è ben definito per dimostrazione analoga a dimostrazioe precedente
  • è necessario dimostrare che \cdot: \mathbb{K} \times V/W \rightarrow V/W è ben definito, allora \forall [v], [w] \quad [v] = [w] \iff w - v \in W \implies \forall k \in \mathbb{K} \quad k(w - v) = kw - kv \in W \iff [kw] = [kv]

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • W \subset V sottospazio vettoriale
• Th
  • \dim(V/W) = \dim(V) - \dim(W)
• Dim
  • n := \dim(V)
  • k := \dim(W)
  • sia w_1, \ldots, w_k base di W
  • \textrm{span}(w_1, \ldots, w_k) \subsetneqq V \implies \exists v_{k + 1} \in V \mid v_{k + 1} \notin \textrm{span}(w_1, \ldots, w_k), allora per dimostrazione precedente w_1, \ldots, w_k, v_{k + 1} linearmente indipendenti
  • dunque, è possibile estendere la base di W scelta, fino ad ottenere una base di V della forma w_1, \ldots, w_k, v_{k +1}, \ldots, v_n, dove i vettori aggiunti sono proprio n - k, che per definizione equivale a \dim(V) - \dim(W)
  • \forall v \in \textrm{span}(w_1, \ldots, w_k, v_{k +1}, \ldots, v_n) \quad \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid v = \lambda_1 w_1 + \ldots + \lambda_k w_k + \lambda_{k + 1} v_{k +1} + \ldots + \lambda_nv_{n} \implies \forall [v] \in V/W \quad [v] = \lambda_1 [w_1] + \ldots + \lambda_n[w_k] + \lambda_{k +1} [v_{k +1 }] + \lambda_n[v_n]
  • per dimostrazione precedente W = [0_V] \in V/W \implies w_1, \ldots, w_k \in W = [0_V] \implies [w_1] = \ldots = [w_k] = [0_V] \implies [v] = \lambda_{k +1}[v_{k +1}] + \ldots + \lambda_n[v_n] \implies [v_{k +1}], \ldots, [v_n] generatori di V/W
  • [v_{k +1}], \ldots, [v_n] generatori di V/W, in particolare implica che \exists \lambda_{k +1}, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid W = [0_V] = \lambda_{k +1}[v_{k+ 1}] + \ldots+ \lambda_n[v_n] = [\lambda_{k +1} v_{k+1} + \ldots + \lambda_nv_n], e in particolare u:=\lambda_{k + 1}v_{k + 1} + \ldots + \lambda_nv_n \in W
  • u \in W \implies \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K} \mid u = \lambda_1 w_1 + \ldots + \lambda_k w_k \implies \lambda_1w_1+ \ldots + \lambda_kw_k = \lambda_{k +1} v_{k +1} + \ldots + \lambda_nv_n \iff \lambda_1w_1+ \ldots + \lambda_kw_k - \lambda_{k +1} v_{k +1} - \ldots - \lambda_nv_n = 0_V
  • per osservazione precedente w_1, \ldots, w_k, v_{k +1}, \ldots v_k è una base di V, allora \lambda_1= \ldots= \lambda_k= -\lambda_{k +1}= \ldots= -\lambda_{n} = 0_V, e in particolare -\lambda_{k+1} = \ldots = -\lambda_n = 0_V \implies [v_{k +1}], \ldots, [v_n] linearmente indipendenti in V/W
  • allora [v_{k +1}], \ldots, [v_n] sono una base di V/W di cardinalità n - k \implies \dim(V/W) = \dim(V)-\dim(W)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • k \in \mathbb{N}
  • V_1, \ldots, V_k spazi vettoriali su \mathbb{K}
• Th
  • \dim(V_1 \times \ldots \times V_k) = \dim(V_1) \cdot \ldots \cdot \dim(V_k)

• Trasformazione lineari

• \mathbb{K} campo
• V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
• f: V \rightarrow W è detta trasformazione lineare \iff
  • \forall v, w \in V \quad f(v + w) = f(v) + f(w)
    • in particolare, deve essere morfismo rispetto a +
  • \forall v \in V, \lambda \in \mathbb{K} \quad f(\lambda v) = \lambda f(v)
• si noti che V \cong W \iff \exists f: V \rightarrow W \mid f trasformazione lineare biettiva

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V spazio vettoriale su \mathbb{K}
  • n:= \dim(V)
• Th
  • V \cong \mathbb{K}^n
• Dim
  • sia v_1, \ldots, v_n \in V base di V
  • sia f: \mathbb{K}^n \rightarrow V: (t_1, \ldots, t_n) \rightarrow t_1v_1 + \ldots + t_nv_n
  • f biettiva
    • v_1, \ldots, v_n basi di V, in particolare linearmente indipendenti \implies f iniettiva
    • v_1, \ldots, v_n basi di V, in particolare generatori di V \implies f suriettiva
    • allora f biettiva
  • f trasformazione lineare
    • x, y \in \mathbb{K}^n \mid \left \{ \begin{array}{l} x = (x_1, \ldots, x_n) \\ y=(y_1, \ldots, y_n) \end{array} \right. si ha che f(x + y) = (x_1 + y_1)v_1 + \ldots + (x_n + y_n) v_n = x_1v_1+ \ldots + x_nv_n + y_1v_1 + \ldots + y_nv_n = f(x) + f(y)
    • \forall x \in V, \lambda \in \mathbb{K} \quad f(\lambda x) = \lambda x_1v_1 + \ldots + \lambda x_n v_n = \lambda(x_1v_1 + \ldots + x_n v_n) = \lambda f(x)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K} \mid \dim(V), \dim(W) finita
• Th
  • V \cong W \iff \dim(V) = \dim(W)
• Dim
  • prima implicazione
    • V \cong W \implies \exists f : V \rightarrow W \mid f trasformazione lineare biettiva
    • sia v_1, \ldots, v_n base di V
    • allora \forall v \in V \quad \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid v = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n \iff f(v) = f(\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n) = f(\lambda_1v_1) + \ldots + f(\lambda_n v_n) = \lambda_1 f(v_1) + \ldots + \lambda_n f(v_n)
    • f suriettiva, allora f(v_1), \ldots f(v_n) generatori di W, e in particolare \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K} \mid 0_W = \lambda_1f(v_1) + \ldots + \lambda_nf(v_n) = f(\lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n)
    • f iniettiva, allora \ker(f) = \{0_V\} \implies 0_W = f(\lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_n v_n) \iff 0_V = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_nv_n
    • v_1, \ldots, v_n linearmente indipendenti \implies 0_V = \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n \iff \lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0_\mathbb{K}
    • allora si ha che 0_W = \lambda_1f(v_1) + \ldots + \lambda_nf(v_n) \iff \lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0_{\mathbb{K}} \implies f(v_1), \ldots, f(v_n) linearmente indipendenti
    • allora f(v_1), \ldots, f(v_n) base di W, ed ha cardinalità n, pari alla cardinalità della base v_1, \ldots, v_n di V, dunque per definizione \dim(V) = \dim(W)
  • seconda implicazione
    • n:=\dim(V) = \dim(W)
    • allora, per dimostrazione precedente si ha che V \cong \mathbb{K}^n \land W \cong \mathbb{K}^n
    • poiché \cong è una relazione di equivalenza per dimostrazione precedente, allora si ha che V \cong W

• Kernel e immagine di spazi vettoriali

• \mathbb{K} campo
• V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
• f : V \rightarrow W trasformazione lineare
• \ker(f) = \{v \in V \mid f(v) = 0_W\} è detto kernel/nucleo di f
• \textrm{im}(f) = \{w \in W \mid \exists v \in V : w = f(v)\} è detta immagine di f

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
  • f : V \rightarrow W trasformazione lineare
• Th
  • \ker(f) \subset V sottospazio
• Dim
  • (\ker(f), +) \leqslant (V, +)
    • f morfismo rispetto a + \implies f(0_V) = 0_W \implies 0_V \in \ker(f)
    • v, w \in \ker(f) \iff f(v) = 0_W = f(w) \implies 0_W = f(v) + f(w) = f(v + w) \implies v + w \in \ker(f)
    • v \in \ker(f) \implies f(v) = 0_W, e poiché f morfismo rispetto a + si ha che f(-v) = -f(v) = 0_W \implies -v \in \ker(f)
  • \forall v \in \ker(f), \lambda \in \mathbb{K} \quad f(v) = 0_W, e poiché f trasformazione lineare f(\lambda v) = \lambda f(v) = \lambda 0_W = 0_W \implies \lambda v \in \ker(f)

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • V, W spazi vettoriali su \mathbb{K} \mid V, W hanno dimensione finita
  • f : V \rightarrow W trasformazione lineare
• Th
  • \textrm{im}(f) \subset W sottospazio
• Dim
  • (\textrm{im}(f), +) \leqslant (V, +)
    • f morfismo rispetto a + \implies f(0_V) = 0_W \implies 0_W \in \textrm{im}(f)
    • v, w \in \textrm{im}(f) \implies \exists v', w'\in V \mid \left \{ \begin{array}{l} f(v') = v \\ f(w') = w \end{array} \right. \implies f(v' + w')= f(v') + f(w') = v + w \implies v + w \in \textrm{im}(f)
    • v \in \textrm{im}(f) \quad \exist v' \in V \mid f(v') = v \iff -f(v') = -v, e poiché f morfismo rispetto a + si ha che f(-v') = -f(v')=-v \implies -v \in \textrm{im}(f)
  • \forall v \in \textrm{im}(f), \lambda \in \mathbb{K} \quad \exists v' \in V \mid f(v') = v \iff \lambda f(v') = \lambda v, e poiché f trasformazione lineare f(\lambda v') = \lambda f(v') = \lambda v \implies \lambda v \in \textrm{im}(f)

• Rango di una trasformazione lineare

• \mathbb{K} campo
• V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
• f: V \rightarrow W trasformazione lineare
• \textrm{rk}(f) := \dim(\textrm{im}(f)) è detto rango di f

• Spazio affine

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• +: A \times V \rightarrow A: (P, v) \rightarrow P + v
• (A, +) è detto spazio affine a V su \mathbb{K} \iff
  • \forall P \in A \quad +_P:V \rightarrow A : v \rightarrow P + v biettiva
  • \forall P \in A, v, w \in V \quad (P + v) + w = P + (v + w)
    • in particolare, deve valere la proprietà associativa mista

• Sottospazio affine

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• W \subset V sottospazio vettoriale
• v \in V
• S := v + W := \{v + w \mid w \in W\} è detto sottospazio di V affine a W
  • in particolare, si tratta di una classe laterale rispetto a + di W
  • può essere visualizzato graficamente come traslazione di W di un fattore pari a v
  • in particolare, questo mostra che \dim(S) = \dim(W), poiché è stata applicata solamente una traslazione senza alterarne la dimensione
• \textrm{Giac}(S) = W è detta giacitura di S

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • m, n \in \mathbb{N}
  • A \in \textrm{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K})
  • b \in \mathbb{K}^m
  • X := \{x \in \mathbb{K}^n \mid A x = b\} \neq \varnothing, dunque il sistema ammette almeno una soluzione
• Th
  • X sottospazio di \mathbb{K}^n affine a \ker(\mathscr{L}_A)
  • \dim(X) = n - \textrm{rk}(A)
• Dim
  • \ker(\mathscr{L}_A) := \{x \in \mathbb{K}^n \mid Ax = 0\} \subset \mathbb{K}^n sottospazio per dimostrazione precedente
  • sia x_0 \in X, che esiste poiché X \neq \varnothing in ipotesi
  • allora x_0 + \ker(\mathscr{L}_A) := \{x_0 + x \mid x \in \ker(\mathscr{L}_A)\} sottospazio di \mathbb{K}^n affine a \ker(\mathscr{L}_A), dove \textrm{Giac}(x_0 + \ker(\mathscr{L}_A)) = \ker(\mathscr{L}_A)
  • \forall x \in X \quad Ax = b = Ax_0 \iff A(x - x_0) = 0 \iff x - x_0 \in \ker(\mathscr{L}_A) \iff x \in x_0 + \ker(\mathscr{L}_A), di conseguenza le soluzioni in X generano un sottospazio di \mathbb{K}^n affine a \ker(\mathscr{L}_A)
  • allora, per il teorema del rango \dim(X) = \dim(x_0 + \ker(f)) = \dim(\textrm{Giac}(x_0 + \ker(f))) = \dim(\ker(\mathscr{L}_A)) = n - \textrm{rk}(\mathscr{L}_A) = n - \textrm{rk}(A)

• Prodotto scalare

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• u, v \in \mathbb{K}^n \mid u = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), v = \left(\begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right)
• u \cdot v := \displaystyle \sum_{i = 1}^n{x_i \cdot y_i} è detto prodotto scalare tra u e v

• Spazio di Hilbert

• \mathbb{K} campo
• V spazio vettoriale su \mathbb{K}
• V è detto spazio di Hilbert \iff in V è ben definito il prodotto scalare

• Base ortogonale di uno spazio di Hilbert

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio di Hilbert su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n base di V
• v_1, \ldots, v_n è detta base ortogonale di V \iff \forall i, j \in [1, n], i \neq j \quad v_i \cdot v_j = 0

• Base ortonormale di uno spazio di Hilbert

• n \in \mathbb{N}
• \mathbb{K} campo
• V spazio di Hilbert su \mathbb{K}
• v_1, \ldots, v_n base ortogonale di V
• v_1, \ldots, v_n è detta base ortonormale di V \iff \forall i, j \in [1, n] \quad v_i \cdot v_j = \left\{\begin{array}{cc} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{array}\right.
  • di fatto, una base ortonormale è una base ortogonale normalizzata
  • in particolare, è possibile ottenere v_1, \ldots, v_n a partire da e_1, \ldots, e_n tramite rotazioni e riflessioni

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • u, v \in \mathbb{K}^n
• Th
  • u \cdot v = v \cdot u
  • \forall \lambda \in \mathbb{K} \quad u \cdot (\lambda v) = \lambda(u \cdot v) = (\lambda u) \cdot v
  • \forall w \in \mathbb{K}^n \quad w \cdot (u + v) = w \cdot u + w \cdot v
  • \forall w \in \mathbb{K}^n \quad (u + v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w

• Norma di un vettore

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• u \in \mathbb{K}^n \mid u = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)
• ||u|| := \sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2} è detta norma di u
  • graficamente, corrisponde alla lunghezza del vettore u nel piano cartesiano

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • u \in \mathbb{K}^n \mid u = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)
• Th
  • ||u|| = \sqrt{u \cdot u}
• Dim
  • ||u|| = \sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2} = \displaystyle \sqrt{\sum_{i= 1}^n{x_i^2}}=\sqrt{u\cdot u}

• Sottospazio ortogonale

• \mathbb{K} campo
• n \in \mathbb{N}
• V \subset \mathbb{K}^n sottospazio vettoriale
• V^{\perp} := \{w \in \mathbb{K}^n \mid \forall v \in V \quad w \cdot v = 0_{\mathbb{K}^n}\} è detto sottospazio di \mathbb{K}^n ortogonale a V
  • la definizione ha significato poiché il prodotto scalare tra due vettori è nullo esattamente quando i due vettori sono perpendicolari tra loro

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • V \subset \mathbb{K}^n sottospazio vettoriale
• Th
  • V^{\bot} \subset \mathbb{K}^n sottospazio vettoriale
• Dim
  • (V^{\bot}, +) \leqslant (\mathbb{K}^n, +)
    • \forall v \in V \quad 0 \cdot v = 0 \implies 0 \in V^{\bot}
    • w_1, w_2 \in V^{\bot} \implies \forall v \in V \quad \left \{ \begin{array}{l} w_1 \cdot v = 0 \\ w_2 \cdot v = 0 \end{array} \right. \implies w_1 \cdot v + w_2 \cdot v = 0 \iff (w_1 + w_2) \cdot v = 0 \implies w_1 + w_2 \in V^{\bot}
    • w \in V^{\bot} \implies \forall v \in V \quad w \cdot v = 0 \iff - (w \cdot v) = 0 \iff (-w) \cdot v = 0 \implies -w \in V^{\bot}
  • w \in V^{\bot} \implies \forall v \in V \quad w \cdot v = 0 \iff \forall k \in \mathbb{K} \quad k(w \cdot v) = 0 \iff (kw) \cdot v = 0 \implies kw \in V^{\bot}

• Hp
  • \mathbb{K} campo
  • n \in \mathbb{N}
  • V \subset \mathbb{K}^n sottospazio vettoriale
• Th
  • \dim(V^{\bot}) + \dim(V) = \dim(\mathbb{K}^n)