Teorema fondamentale dell’algebra
- Hp
- Th
- \exists z \in \mathbb{C} \mid p(z) =
0
Teorema della divisione euclidea con il resto
- Hp
- m \in \mathbb{Z}
- n \in \mathbb{Z} - \{0\}
- Th
- \exists ! \ q, r \in \mathbb{Z} \mid m=n
q+r \quad 0 \leq r<n
- Dim
- esistenza
- [m]_n := \{r \in \mathbb{Z} \mid x \equiv
m \ (\bmod \ n) \iff \exists q \in \mathbb{Z} \mid nq = m - x \iff x = m
- nq\}
- allora esiste r:=\min(\{a \in [m]_n \mid a
\ge 0 \}) per il principio del minimo numero
- in particolare, per definizione r \ge
0
- per assurdo r \ge n \implies r - n \ge
0
- r \in [m]_n \implies \exists q \in
\mathbb{Z} \mid r = m - nq \implies r - n = (m - nq) - n = m - nq - n =
m - n (q + 1) \in [m]_n per definizione
- n \neq 0 \implies r - n \lt r \implies
r non è il minimo in [m]_n \
\bot
- unicità
- per assurdo \exists q_1, q_2, r_1, r_2 \in
\mathbb{Z} \mid \left \{ \begin{array}{l} m = nq_1 + r_1 & 0 \le r_1
\lt n \\ m = nq_2 + r_2 & 0 \le r_2 \lt
n\end{array}\right.
- allora nq_1 + r_1 = m = nq_2 + r_2 \iff
n(q_1 - q_2) = r_2 - r_1 \implies n \mid r_2 - r_1
- 0 \le r_1, r_2 \lt n \implies -n \lt r_2 -
r_1 \lt n, e in particolare r_2 - r_1
\neq \pm n, allora poiché n \mid r_2 -
r_1 necessariamente r_2 - r_1 =
0
- n = 0 \implies nq_1 + r_1 = n q_2 + r_2
\iff r_1 = r_2, e dagli stessi calcoli segue che q_1 = q_2, poiché \mathbb{Z} è un dominio di integrità
Oss
- Hp
- \mathbb{K} campo
- a(x), b(x) \in \mathbb{K}[x] \mid b(x)
\neq 0
- Th
- \exists ! q(x), r(x) \in \mathbb{K}[x]
\mid a(x) = b(x) q(x) + r(x) \quad \deg(r(x)) \lt \deg(b(x))
- Dim
- esistenza
- unicità
- per assurdo \exists q_1(x), q_2(x),
r_1(x), r_2(x) \in \mathbb{K}[x] \mid \left \{ \begin{array}{l} a(x) =
b(x)q_1(x) + r_1(x) & \deg(r_1(x)) \lt \deg(b(x)) \\ a(x) =
b(x)q_2(x) + r_2(x) & \deg(r_2(x)) \lt \deg(b(x))\end{array}
\right.
- allora b(x)q_1(x) + r_1(x) = a(x) =
b(x)q_2(x)+ r_2(x) \iff b(x)[q_1(x) - q_2(x)] = r_2(x) - r_1(x) \implies
\deg(b(x)) + \deg(q_1(x)- q_2(x))=\deg(r_2(x) - r_1(x)) =
\max(\deg(r_2(x)), \deg(r_1(x))) \lt \deg(b(x))
- allora \deg(b(x)) + \deg(q_1(x) - q_2(x))
\lt \deg(b(x))\iff q_1(x) - q_2(x) = 0 \iff q_1(x) = q_2(x) \implies
r_1(x) = r_2(x)
Teorema di Lagrange
- Hp
- G gruppo finito
- H \leqslant G
- Th
- Dim
- G = \displaystyle \bigsqcup_{[x] \in
G/H}{[x]} per dimostrazione precedente
- \forall x \in G \quad |[x]| = |xH| =
|H| per dimostrazione precedente
- poiché l’intersezione è disgiunta |G| = k
\cdot |[x]| = k \cdot |H|
- allora segue che k = |G/H|, ovvero
al numero di partizioni, e dunque |G| = |G/H|
\cdot |H|
Teorema fondamentale dell’aritmetica
- Hp
- Th
- \textrm{mcm}(a, b) \cdot \textrm{MCD}(a,
b) = a \cdot b
- Dim
- a = 0 \lor b = 0 \lor a = b = 0 \implies
\textrm{mcm}(a, b) = 0
- a, b \gt 0
- \forall n \in \mathbb{N} - \{0\} \quad
\exists ! n_2, n_3, n_5, \ldots, n_p \in \mathbb{N} \mid p \in
\mathbb{P} : n = 2^{n_2} \cdot 3 ^ {n_3} \cdot \ldots \cdot p ^
{n_p}
- p \nmid n \implies n_p = 0 \implies p
^ {n_p} = 1, dunque non influisce nella produttoria
- \displaystyle{n = \prod_{p \in
\mathbb{P}}^{} p ^{n_p}}, quindi è possibile riscrivere anche
a e b
tramite i loro fattori primi come \displaystyle{a=\prod_{p \in \mathbb{P}}
p^{a_{p}}} e \displaystyle{b=\prod_{p
\in \mathbb{P}} p^{b_{p}} }
- d:= \textrm{MCD}(a, b) e m:=\textrm{mcm}(a, b)
- per definizione di d ed m, e attraverso le regole che permettono di
trovarli tramite le fattorizzazioni di a e b, è
possibile riscrivere d ed m come \displaystyle{d = \prod_{p \in \mathbb{P}}
p^{\min(a_p, b_p)}} e \displaystyle{m =
\prod_{p \in \mathbb{P}} p^{\max(a_p, b_p)}}
- d \cdot m =\displaystyle{\prod_{p \in
\mathbb{P}} p^{\min(a_p, b_p)}} \cdot \displaystyle{\prod_{p \in
\mathbb{P}} p^{\max(a_p, b_p)}} = \displaystyle{\prod_{p \in \mathbb{P}}
p^{\min(a_p, b_p) + \max(a_p, b_p)}}
- \forall a, b \in \mathbb{N} \quad a + b =
\min(a, b) + \max(a, b)
- a = \min(a, b) \implies \max(a, b) =
b, e viceversa
- d \cdot m = \displaystyle{\prod_{p \in
\mathbb{P} }p ^{a_p + b_p}} = \displaystyle{\prod_{p \in \mathbb{P}}
p^{a_p}} \cdot \displaystyle{\prod_{p \in \mathbb{P}} p^{b_p}} = a \cdot
b
Teorema cinese dei resti
Lem
- Hp
- a_1, \ldots, a_n \ge 2 \in
\mathbb{Z} \mid \textrm{MCD}(a_i, a_j) = 1 \quad \forall i, j \in [1,
n] : i \neq j
- m := \textrm{mcm}(a_1, \ldots,
a_n)
- Th
- m = a_1 \cdot \ldots \cdot a_n
- Dim
- \forall i, j \in [1, n] \mid i \neq j
\quad \textrm{MCD}(a_i, a_j) = 1 \implies \forall p \in \mathbb{P} \quad
p \mid a_i \implies p \nmid a_j, poiché altrimenti p \mid \textrm{MCD}(a_i, a_j)
- allora considerando le fattorizzazioni \left \{ \begin{array}{c}a_1 =
\displaystyle{\prod_{p \in \mathbb{P}}{p^{a_{1_p}}}} \\ \vdots \\
\displaystyle{ a_n = \prod_{p \in \mathbb{P}}{p^{a_{n_p}}}}\end{array}
\right., si ha che \forall p \in
\mathbb{P}, i \in [1, n] \quad a_{i_p} \gt 0 \implies \forall j \in [1,
n] \mid i \neq j \quad a_{j_p} = 0 \implies p^{a_{j_p}} = 1,
dunque ogni fattore è presente solo in una delle fattorizzazioni degli
n interi, poiché coprimi
- di conseguenza, la somma degli esponenti di un p fissato, su tutte le fattorizzazioni degli
n interi, equivale all’unico esponente
non nullo, poiché nelle altre fattorizzazioni varrà 0, e dunque \forall
p \in \mathbb{P} \quad a_{1_p} + \ldots + a_{n_p} = \max(a_{1_p},
\ldots, a_{n_p})
- allora m = \displaystyle \prod_{p \in
\mathbb{P}}{p^{\max(a_{1_p}, \ldots, a_{n_p})}}=\prod_{p \in
\mathbb{P}}{p^{a_{1_p} + \ldots + a_{n_p}}} = \prod_{p \in
\mathbb{P}}{p^{a_{1_p}}} \cdot \ldots \cdot \prod_{p \in
\mathbb{P}}{p^{a_{n_p}}} = a_1 \cdot \ldots \cdot a_n
Lem
- Hp
- n \in \mathbb{N}
- a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}_{n \ge
2}
- m:= \textrm{mcm}(a_1, \ldots,
a_n)
- Th
- \exists \phi \mid \phi: \mathbb{Z}_m
\rightarrow \mathbb{Z}_{a_1} \times \ldots \times \mathbb{Z}_{a_n}: x \
(\bmod \ m) \rightarrow (x \ (\bmod \ a_1), \ldots, x \ (\bmod \
a_n)) è una funzione ben definita, ed è iniettiva
- Dim
- \phi ben definita \iff \forall [x], [x'] \in \mathbb{Z}_m \quad
[x] = [x'] \implies \phi([x]) = \phi([x']), o
equivalentemente \forall x, x' \in
\mathbb{Z} \quad x\equiv x^{\prime} \ (\bmod \ m) \implies
\left\{\begin{array}{c}x \equiv x^{\prime}\ \left(\bmod \ a_{1}\right)
\\ \vdots \\ x \equiv x^{\prime}\ \left(\bmod \
a_{n}\right)\end{array}\right.
- \left\{\begin{array}{c}x \equiv
x^{\prime}\ \left(\bmod \ a_{1}\right) \\ \vdots \\ x \equiv x^{\prime}\
\left(\bmod \ a_{n}\right)\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{c}x^{\prime}-x \in I\left(a_{1}\right) \\ \vdots \\
x^{\prime}-x \in I\left(a_{n}\right)\end{array}\right. \iff x - x^\prime
\in I(a_1) \cap \ldots \cap I(a_n) = I(m) \iff x \equiv x^\prime \
(\bmod \ m)
- in particolare, tale osservazione è valida in entrambe i versi
dell’implicazione, e poiché il verso opposto implica l’iniettività di
\phi, si ha che \phi iniettiva
Teorema cinese dei resti
- Hp
- n \in \mathbb{N}
- a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}_{\ge 2}
\mid \forall i, j \in [1, n] \quad i \neq j \implies \textrm{MCD}(a_i,
a_j) = 1
- b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{Z} \mid 0
\leq b_{1}<a_{1}, \ldots, 0 \leq b_n \lt a_n
- m := \textrm{mcm}(a_1, \ldots,
a_n)
- Th
- \exists ! x \ (\bmod \ m) \mid
\left\{\begin{array}{c}x \equiv b_{1}\
\left(\bmod \ a_{1}\right) \\ \vdots \\ x \equiv b_{n}\ \left(\bmod \
a_{n}\right)\end{array}\right.
- Dim
- per il primo lemma m = a_1 \cdot \ldots
\cdot a_n poiché coprimi a due a due in ipotesi
- per il secondo lemma m :=
\textrm{mcm}(a_1, \ldots, a_n) \implies \phi : \mathbb{Z}_m \rightarrow
\mathbb{Z}_ {a_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{a_n} ben
definita e iniettiva
- allora \left|\mathbb{Z}_{a_{1}} \times
\ldots \times \mathbb{Z}_{a_{n}}\right|=\left|\mathbb{Z}_{a_{1}}\right|
\cdot\ldots\cdot\left|\mathbb{Z}_{a_{n}}\right| = a_1 \cdot \ldots \cdot
a_n = m = \left|\mathbb{Z}_m\right| \implies \phi iniettiva \iff \phi suriettiva
- \phi suriettiva \implies \exists x
\mid x \ (\bmod \ m) è soluzione del sistema
- \varphi(x \ (\bmod \ m))=\left(b_{1}\
\left( \bmod \ a_{1}\right), \ldots, b_{n} \ (\bmod \
a_{n})\right), e poiché \phi è
suriettiva, allora ogni tupla di n
elementi dell’insieme di arrivo, che descrive un sistema come in
ipotesi, ha una controimmagine x \ (\bmod \
m)
- \phi iniettiva \implies \exists !
x \mid x \ (\bmod \ m) è soluzione del sistema
- poiché \phi è iniettiva, x \ (\bmod \ m) \in \mathbb{Z}_m è unico
Cor
- Hp
- k \in \mathbb{N}
- n_1, \ldots, n_k \in \mathbb{N} - \{0\}
\mid \forall i, j \in [1, k] \quad i \neq j \implies \textrm{MCD}(n_i,
n_j) = 1
- N := \textrm{mcm}(n_1, \ldots,
n_k)
- [a] \in \mathbb{Z}_N^*
- o := o([a]) in \mathbb{Z}_N^*
- \forall h \in [1, k] \quad o_h :=
o([a]) in \mathbb{Z}_{n_h}^*
- m := \textrm{mcm}(o_1, \ldots,
o_k)
- Th
- Dim
- per il primo lemma del teorema cinese dei resti N = n_1 \cdot \ldots \cdot n_k poiché coprimi
a due a due in ipotesi
- per il teorema cinese dei resti a^o \equiv
1 \ (\bmod \ N) \implies \left\{\begin{array}{c}a^o \equiv 1 \ (\bmod \
n_1) \\ \vdots \\ a^o \equiv 1 \ (\bmod \ n_k)\end{array}\right.
poiché n_1, \ldots, n_k coprimi a due a
due in ipotesi
- per dimostrazione precedente, o_1 è
il più piccolo esponente di [a] per cui
[a]^{o_1} = [1] in \mathbb{Z}_{n_1}^*, ma questo implica che
\forall k \in \mathbb{Z} \quad ([a]^{o_1})^k =
[1] in \mathbb{Z}_{n_1}^*, e
allora necessariamente a^o \equiv 1 \ (\bmod \
n_1) implica che o sia un
multiplo di o_1
- per ragionamento analogo, vale il seguente sistema \left\{\begin{array}{c}o_1 \mid o \\ \vdots \\ o_k
\mid o \end{array}\right. \implies m \mid o
- per definizione \left\{\begin{array}{c}o_1
\mid m \\ \vdots \\ o_k \mid m \end{array}\right.
- per ragionamento analogo all’osservazione precedente, o_1 \mid m \land [a]^{o_1}=[1] \implies [a]^m =
[1] in \mathbb{Z}_{n_1}^*, e
dunque si ottiene che \left\{\begin{array}{c}a^m \equiv 1 \ (\bmod \ n_1)
\\ \vdots \\ a^m \equiv 1 \ (\bmod \ n_k)\end{array}\right. \implies
a^m \equiv 1 \ (\bmod \ N) \implies m è multiplo di o \implies o \mid m
- m \mid o \land o \mid m \implies o =
m
Teorema del binomio di Newton
- Hp
- A anello commutativo
- a, b \in A
- n \in \mathbb{N}
- Th
- (a+b )^n = \displaystyle{\sum_{k =
0}^{n}{\binom{n}{k} a^k b ^{n - k}}}
- Dim
- n = 0 \implies (a+b)^0 =
\displaystyle{\sum_{k = 0}^{0}{\binom{0}{k}a^kb^{0 - k}}} =
\binom{0}{0}a^0b^0=1
- n \ge 1 \implies (a+ b)^{n + 1} = (a+b)
\cdot (a+b)^n = (a + b) \cdot \displaystyle \sum_{k =
0}^{n}{\binom{n}{k} a^k b^{n - k}} = \sum_{k = 0}^n{\binom{n}{k} a^{k
+1}b^{n - k}}
- ⚠️ incompleta
Piccolo teorema di Fermat
- Hp
- p \in \mathbb{P}
- a \in \mathbb{Z}
- Th
- a^{p} \equiv a \ (\bmod \ p)
- Dim
- prima dimostrazione
- dimostrazione per induzione su a
- a=0 \implies [0]^{p} =[0]
- a \gt 0 \implies [a+1]^{p}=[a+1]
- per definizione di +, si ottiene
che [a +1] = [a] + [1] \iff [a+1]^p = ([a] +
[1])^p, e per dimostrazione precedente, ([a]+[1])^p = [a]^p +[1]^p in \mathbb{Z}_p
- [a+1]^{p}=[a+1] \iff [a]^{p}+[1]^{p}=[a+1]
\implies [a]^p + [1] = [a + 1] \iff [a]^p = [a + 1] -[1] = [a],
che coincide con l’ipotesi induttiva
- seconda dimostrazione
- p \in \mathbb{P} \implies \mathbb{Z}_p^* =
\mathbb{Z} - \{[0]\} per dimostrazione precedente, e dunque |\mathbb{Z}_p^*| = p - 1
- [a] \in \mathbb{Z}_p \mid [a] = [0]
\implies [0^p]=[0]
- [a] \in \mathbb{Z}_p \mid [a] \neq [0]
\implies [a] \in \mathbb{Z}_p^* per osservazione precedente
- per dimostrazione precedente si ha che g^{|G|} = e, allora [a]^{|\mathbb{Z}_p^*|}=[1] \iff [a]^{p - 1} = [1]
\iff [a]^p \cdot [a]^{-1} = [1] \iff [a]^p = [a]
Cor
- Hp
- p \in \mathbb{P}
- [a] \in \mathbb{Z}_{p}-\{[0]\}
- Th
- [a]^{-1}=\left[a\right]^{p-2}
- Dim
- [a] \neq [0] \implies \exists[a]^{-1} \in
\mathbb{Z}_p, poiché, per dimostrazione precedente \mathbb{Z}_p^* = \mathbb{Z_p} - \{[0]\}
- per il teorema di Fermat [a]^p = [a] \iff
[a]^p \cdot [a]^{-1} = [a] \cdot [a]^{-1} \iff [a]^{p -1} = [1] \iff [a]
\cdot [a]^{p -2} = [1]\iff [a]^{-1} = [a]^{p-2}
Cor
- Hp
- Th
- \displaystyle \prod_{0 \lt a \lt p} (x -
a) \equiv x^{p - 1} - 1 \ (\bmod \ p)
- Dim
- per il piccolo teorema di Fermat a^p
\equiv a \iff a^{p - 1} \equiv 1 \iff a^{p - 1} - 1 \equiv 0\ (\bmod \
p), ovvero [a] è radice del
polinomio x^{p -1 } - [1] \in
\mathbb{Z}_p[x]
- per dimostrazione precedente \forall 0 \lt
a \lt p \quad [a]^{p - 1} - [1] = [0] \iff (x - [a]) \mid x^{p -1} -
[1], ovvero \displaystyle \prod_{0 \lt
a \lt p} (x - [a]) \mid x^{p - 1} - [1] \implies \exists c \in
\mathbb{Z} \mid x^{p - 1} - [1] = c \cdot \displaystyle \prod_{0 \lt a
\lt p} (x - [a])
- poiché x^{p- 1}-[1] e \displaystyle \prod_{0 \lt a \lt p} (x - [a])
sono due polinomi il cui coefficiente direttore è 1, allora necessariamente c = 1, dunque si ha che \displaystyle \prod_{0 \lt a \lt p} (x - a) \equiv
x^{p - 1} - 1 \ (\bmod \ p)
Teorema di Eulero
- Hp
- a, n \in \mathbb{N} \mid \textrm{MCD}(a,
n) = 1
- Th
- a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (\bmod \
n)
- Dim
- per dimostrazione precedente \textrm{MCD}(a, n) = 1 \implies [a] \in
\mathbb{Z}_n^*
- per dimostrazione precedente [a] ^
{|\mathbb{Z}_n^*|} = [1]
- per definizione \varphi(n) :=
|\mathbb{Z}_n^*|, e dunque a
^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (\bmod \ n)
Teorema fondamentale di isomorfismo
- Hp
- A, B anelli
- f: A \rightarrow B morfismo di
anelli
- Th
- A / \textrm{ker}(f) \cong
\textrm{im}(f), ovvero \exists \varphi
\mid \varphi : A / \textrm{ker}(f) \rightarrow \textrm{im}(f): [a]
\rightarrow f(a) isomorfismo di anelli
- Dim
- \varphi è ben definita \iff \forall x, y \in A \quad [x] = [y] \implies
\varphi([x]) = f(x) = f(y) = \varphi([y])
- per dimostrazione precedente f
morfismo \implies f(x^{-1}) =
f(x)^{-1}, e dunque rispetto a +
in A si ottiene che \forall x \in A \quad f(-x) = -f(x)
- allora [x] = [y] \iff x \equiv y \ (\bmod
\ \ker(f)) \iff y - x \in \textrm{ker}(f) \iff 0_B = f(y - x) = f(y +
(-x)) = f(y) + f(-x) = f(y)-f(x) \iff f(y) = f(x) \iff \varphi([y]) =
\varphi([x])
- \varphi morfismo di anelli \iff \left \{ \begin{array}{l} \varphi([a]) +
\varphi([b]) = \varphi([a]+ [b]) \\ \varphi([a]) \cdot \varphi([b]) =
\varphi([a]\cdot [b]) \end{array} \right.
- \varphi([a]) + \varphi([b]) = f(a) + f(b)
= f(a + b) = \varphi([a + b]) = \varphi([a] + [b])
- per \cdot vale il ragionamento
analogo
- \varphi isomorfismo di anelli \iff \varphi iniettiva e suriettiva
- \varphi iniettiva
- [x] \in \ker(\varphi) \iff \varphi([x]) =
f(x) = 0_B \iff x \in \ker(f) \iff x - 0_A \in \ker(f) \iff x \equiv 0_A
\ (\bmod \ \ker(f)) \iff [x] = [0_A]
- allora \textrm{ker}(\varphi)=\{[0_A]\}
\iff \varphi iniettiva
- \varphi suriettiva
- \textrm{im}(\varphi) := \{f(a) \mid
\exists [a] \in A/\ker(f) : \varphi([a]) = f(a)\} =:
\textrm{im}(f)
Oss
- Hp
- G, H gruppi
- f: G \rightarrow H morfismo di
gruppi
- Th
- G / \textrm{ker}(f) \cong
\textrm{im}(f), o alternativamente \exists \varphi \mid \varphi : G / \textrm{ker}(f)
\rightarrow \textrm{im}(f): [g] \rightarrow f(g) isomorfismo di
gruppi
Oss
- Hp
- \mathbb{K} campo
- V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
- f:V \rightarrow W trasformazione
lineare
- Th
- V/\ker(f) \cong \textrm{im}(f), o
alternativamente \exists \varphi \mid \varphi
: V/\ker(f) \rightarrow \textrm{im}(f):[v] \rightarrow f(v)
trasformazione lineare
Teorema di Cauchy
- Hp
- G gruppo finito
- p \in \mathbb{P} : p \bigg\vert
|G|
- Th
- \exists g \in G \mid o(g) = p
Teorema di Carnot
- Hp
- n \in \mathbb{N}
- u, v \in \mathbb{K}^n \mid u =
\left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), v =
\left(\begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n
\end{array}\right)
- \theta l’angolo compreso tra u e v
- Th
- ||u - v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 -
2\cos(\theta) \cdot||u||\cdot ||v||
Cor
- Hp
- n \in \mathbb{N}
- u, v \in \mathbb{K}^n \mid u =
\left(\begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right), v =
\left(\begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n
\end{array}\right)
- \theta l’angolo compreso tra u e v
- Th
- \cos(\theta)= \dfrac{u \cdot v}{||u||
\cdot ||v||}
- Dim
- per il teorema di Carnot ||u - v||^2 =
||u||^2 + ||v||^2 - 2\cos(\theta) \cdot ||u||\cdot ||v|| \iff -
2\cos(\theta) \cdot||u||\cdot ||v|| = ||u - v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 =
\displaystyle \sum_{i = 1}^n{(y_i -x_i)^2}- \sum_{i= 1}^n{y_i^2} -
\sum_{i = 1}^n{x_i^2} = \sum_{i = 1}^n{\left((y_i - x_i)^2 - x_i^2 -
y_i^2 \right)} = \sum_{i = 1}^n{\left(y_i^2 - 2y_ix_i + x_i^2 -y_i^2
-x_i^2 \right)} = - 2 \sum_{i = 1}^n{x_iy_i} = -2(u \cdot v)
- -2\cos(\theta) \cdot ||u|| \cdot ||v|| =
-2(u \cdot v) \iff \cos(\theta)= \dfrac{u \cdot v}{||u|| \cdot
||v||}
Teorema del rango
- Hp
- \mathbb{K} campo
- V, W spazi vettoriali su \mathbb{K}
- f:V \rightarrow W trasformazione
lineare
- Th
- \dim(\textrm{im}(f)) + \dim(\ker(f)) =
\dim(V)
- Dim
- \textrm{rk} :=
\dim(\textrm{im}(f)), allora la tesi è equivalente a dimostrare
che \textrm{rk}(f) = \dim(V) -
\dim(\ker(f))
- per dimostrazione precedente \ker(f)
\subset V sottospazio vettoriale, allora, per dimostrazione
precedente si ottiene che \dim(V/\ker(f)) =
\dim(V) - \dim(\ker(f))
- per il teorema fondamentale di isomorfismo tra spazi vettoriali, si
ha che V/\ker(f) \cong \textrm{im}(f) \iff
\dim(V/\ker(f)) = \dim(\textrm{im}(f)) per dimostrazione
precedente
- allora, segue che \dim(\textrm{im}(f)) =
\dim(V) - \dim(\ker(f)) \iff \dim(\textrm{im}(f)) + \dim(\ker(f)) =
\dim(V)
Teorema di Rouché-Capelli
- Hp
- \mathbb{K} campo
- m, n \in \mathbb{N}
- A \in \textrm{Mat}_{m \times
n}(\mathbb{K})
- b \in \mathbb{K}^m
- Th
- \exists x \in \mathbb{K}^n \mid A x = b
\iff \textrm{rk}(A) = \textrm{rk}(A_b)
- Dim
- \exists x \in \mathbb{K}^n \mid A x = b
\iff \exists x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{K} \mid x_1A^1 + \ldots +
x_nA^n=b \iff b \in \textrm{span}(A^1, \ldots, A^n) \subseteq
\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n, b)
- b \in \textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)
\implies \exists \mu_1, \ldots, \mu_n \in \mathbb{K} \mid v = \mu_1A^1 +
\ldots + \mu_n A^n
- \forall v \in \textrm{span}(A^1, \ldots,
A^n, b) \quad \exists \lambda_1, \ldots, \lambda_n, c \in \mathbb{K}
\mid v = \lambda_1A^1 + \ldots + \lambda_nA^n + cb = \lambda_1A^1 +
\ldots + \lambda_nA^n + c(\mu_1A^1 + \ldots + \mu_nA^n) = (\lambda_1 +
c\mu_1)A^1 + \ldots + (\lambda_n + c\mu_n)A^n \implies v \in
\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n) \implies \textrm{span}(A^1, \ldots, A^n,
b) \subseteq \textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)
- allora \textrm{span}(A^1, \ldots, A^n) =
\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n, b) \iff \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots,
A^n)) = \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n, b))
- per dimostrazione precedente \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n)) =
\textrm{rk}(A), e analogamente \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n, b)) =
\textrm{rk}(A_b)
- allora \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots,
A^n)) = \dim(\textrm{span}(A^1, \ldots, A^n, b)) \iff \textrm{rk}(A) =
\textrm{rk}(A_b)
Teorema di Cramer
- Hp
- \mathbb{K} campo
- n \in \mathbb{N}
- A \in \textrm{Mat}_{n \times
n}(\mathbb{K}) \mid \det(A) \neq 0
- b \in \mathbb{K}^n
- Th
- \left\{\begin{array}{c}x_1 = \det(A)^{-1}
\cdot \det\left(\begin{array}{cccc}b_1 & a_{1,2} &\cdots &
a_{1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_n &
a_{n, 2} & \cdots & a_{n,n}\end{array}\right) \\ \vdots \\ x_n =
\det(A)^{-1} \cdot \det\left(\begin{array}{cccc}a_{1,1} & \cdots
& a_{1,n-1} & b_1\\ \vdots & \ddots & \vdots &
\vdots \\ a_{n, 1} & \cdots & a_{n,n-1} &
b_n\end{array}\right) \end{array}\right. sono le componenti del
vettore x \in \mathbb{K}^n \mid A x =
b
Teorema di Kronecker
- Hp
- \mathbb{K} campo
- n, r, r' \in \mathbb{N} \mid r \lt
r' \lt n
- A \in \textrm{Mat}_{n \times
n}(\mathbb{K})
- M_1 \in \textrm{Mat}_{r \times
r}(\mathbb{K}) \mid M_1 minore di A
\land \det(M_1) \neq 0
- \textrm{rk}(A)=r
- \forall M_1' orlato di M_1 \quad \det(M_1') = 0
- \forall M_2 \in \textrm{Mat}_{r'
\times r'}(\mathbb{K}) \mid M_2 minore di A \quad \det(M_2) = 0
- Th
- le proposizioni sono equivalenti
Teorema di Binet
- Hp
- \mathbb{K} campo
- n \in \mathbb{N}
- A, B \in \textrm{Mat}_{n \times
n}(\mathbb{K})
- Th
- \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot
\det(B)
Cor
- Hp
- \mathbb{K} campo
- n \in \mathbb{N}
- A \in \textrm{Mat}_{n \times
n}(\mathbb{K})
- Th
- \det(A)^{-1}=\det(A^{-1})
- Dim
- \det(A\cdot
A^{-1})=\det(I_n)=1
- allora per il teorema di Binet 1 = \det(A
\cdot A^{-1}) = \det(A) \cdot \det(A^{-1}) \iff
\det(A)^{-1}=\det(A^{-1})
Teorema spettrale
- Hp
- n \in \mathbb{N}
- A \in \textrm{Mat}_{n \times
n}(\mathbb{R}) \mid A simmetrica
- \textrm{sp}(A) \subset
\mathbb{R}
- A diagonalizzabile
- \exists B^1, \ldots, B^n
autovettori di A \mid B^1, \ldots, B^n
base ortonormale di \mathbb{R}^n
- \exists B \in \textrm{O}(n) \mid
B^{-1}AB diagonale
- Th
- le proposizioni sono equivalenti