• Dominio

• A insieme finito o infinito
• A, in algebra relazionale, è detto dominio

• Prodotto cartesiano

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• D_1 \times \ldots \times D_n := \{(v_1, \ldots, v_n) \mid v_1 \in D_1, \ldots , v_n \in D_n\} è detto prodotto cartesiano dei domini D_1, \ldots D_n

• Relazione

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots , D_n domini
• k \in [1, n]
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_k è detta relazione di grado k
  • (t_1, \ldots, t_k) \in R è detta tupla di cardinalità k
  • \forall i \in [1, k] \quad (t_1, \ldots, t_k)[i] = t_i
  • \forall a, b \in [1, k] \mid a \lt b \quad (t_1, \ldots, t_k)[a, b] = (t_a, \ldots, t_b)

• Schema relazionale

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) è detto schema relazionale
  • R, in algebra relazionale, è categorizzata tramite attributi, denotati con A_i, nomi con i quali si etichettano le colonne della tabella, dunque uno schema relazionale è l’insieme delle etichette
  • \forall i \in [1, n] \quad \textrm{dom}(A_i) := D_i è detto dominio di A_i
  • \forall i \in [1, n] \quad A_i \in \textrm{dom}(A_i)

• Istanza di una relazione

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• k \in [1, n]
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_k relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• D_1, \ldots , D_k, l’insieme delle tuple di R, è detta istanza della relazione R

• Proiezione

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• a, b \in [1, n] \mid a \lt b
• \pi_{A_a, \ldots, A_b}(R) := R(A_a, \ldots, A_b) è detta proiezione di R, associata ad uno schema relazionale R(A_a, \ldots, A_b)

• Selezione

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• C espressione booleana
• r istanza di R
• \sigma_C(r) \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n è detta selezione di r
  • corrisponde all’insieme delle righe della tabella che rendono la condizione C vera

• Rinominazione

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• R' = \rho_{A_1' \leftarrow A_1}(R), dove \rho è detto operatore di rinominazione
  • R' sarà uno schema relazionale con la stessa istanza di R, ma con A_1 rinominato con A_1'

• Unione

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n, D_1' ,\ldots, D_n' domini \mid \forall i \in [1, n] \quad D_i = D_i'
• R_1 \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R_2 \subseteq D_1' \times \ldots \times D_n' relazione
• R_1(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• R_2(A_1', \ldots, A_n') schema relazionale
• r_1 istanza di R_1
• r_2 istanza di R_2
• r_1 \cup r_2 := \{t \mid t \in r_1 \lor t \in r_2\} è detta unione delle istanze r_1 e r_2
  • dunque, l’unione di istanze è definita solamente per istanze con stesso numero di attributi, e attributi con stesso dominio

• Differenza

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n, D_1' , \ldots , D_n' domini \mid \forall i \in [1, n] \quad D_i = D_i'
• R_1 \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R_2 \subseteq D_1' \times \ldots \times D_n' relazione
• R_1(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• R_2(A_1', \ldots, A_n') schema relazionale
• r_1 istanza di R_1
• r_2 istanza di R_2
• r_2 - r_1 := \{t \mid t \in r_2 \land t \notin r_1\} è detta differenza delle istanze r_1 e r_2
  • dunque, la differenza di istanze è definita solamente per istanze con stesso numero di attributi, e attributi con stesso dominio

• Intersezione

• n \in \mathbb{N}
• D_1 , \ldots , D_n , D_1' , \ldots , D_n' domini \mid \forall i \in [1, n] \quad D_i = D_i'
• R_1 \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R_2 \subseteq D_1' \times \ldots \times D_n' relazione
• R_1(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• R_2(A_1', \ldots, A_n') schema relazionale
• r_1 istanza di R_1
• r_2 istanza di R_2
• r_1 \cap r_2 := r_2 - (r_2 - r_1) è detta intersezione delle istanze r_1 e r_2
  • dunque, l’intersezione di istanze è definita solamente per istanze con stesso numero di attributi, e attributi con stesso dominio

• Prodotto cartesiano

• n \in \mathbb{N}
• D_1 , \ldots , D_n, D_1' , \ldots , D_n' domini \mid \forall i \in [1, n] \quad D_i = D_i'
• R_1 \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R_2 \subseteq D_1' \times \ldots \times D_n' relazione
• R_1(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• R_2(A_1', \ldots, A_n') schema relazionale
• r_1 istanza di R_1
• r_2 istanza di R_2
• r_1 \times r_2 := \{(t_1, t_2) \mid t_1 \in r_1 \land t_2 \in r_2\} è detto prodotto cartesiano delle istanze r_2 e r_2

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • D_1 , \ldots, D_B , \ldots , D_n, D_1' , \ldots , D_B' , \ldots , D_n' domini \mid \forall i \in [1, n] \quad D_i = D_i'
  • R_1 \subseteq D_1 \times \ldots \times D_B \times \ldots \times D_n relazione
  • R_2 \subseteq D_1' \times \ldots \times D_B' \times \ldots \times D_n' relazione
  • R_1(A_1, \ldots, B, \ldots, A_n) schema relazionale
  • R_2(A_1', \ldots, B, \ldots, A_n') schema relazionale
  • r_1 istanza di R_1
  • r_2 istanza di R_2
• Th
  • r_1 \times r_2 contiene tuple senza significato
  • il prodotto cartesiano cercato è \pi_{A_1, \ldots, B, \ldots, A_n, A_1', \ldots, \hat B', \ldots, A_n'}(\sigma_{B=B'}(r_1 \times r_2'))
• Dim
  • in questa situazione, si verifica che r_1 \times r_2 conterrà delle tuple senza significato, poiché esiste un attributo con stesso nome in R_1 e in R_2, ovvero B
  • per risolvere questo problema, spesso l’operatore \times viene utilizzato congiuntamente a \rho, \sigma e \pi
    • infatti, per ottenere un prodotto cartesiano con significato è necessario prima rinominare l’attributo in comune in uno dei due schemi relazionali, per differenziarli, e dunque R_2' = \rho_{B' \leftarrow B}(R_2), e sia r_2' l’istanza di R_2'
    • successivamente, facendo r_1 \times r_2', si otterra un’istanza contenente delle tuple ancora senza significato, che sarà possibile rimuovere selezionando attraverso \sigma_{B'=B}(r_1 \times r_2')
    • infine, a questo punto si avranno due colonne perfettamente identiche, e dunque è sufficiente proiettare prendendo solo una delle colonne tra B e B', e quindi \pi_{A_1, \ldots, B, \ldots, A_n, A_1', \ldots, \hat B', \ldots, A_n'}(\sigma_{B=B'}(r_1 \times r_2')) è il prodotto cartesiano cercato

• Join naturale

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n, D_1', \ldots , D_n' domini \mid \forall i \in [1, n] \quad D_i = D_i'
• R_1 \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R_2 \subseteq D_1' \times \ldots \times D_n' relazione
• R_1(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• R_2(A_1', \ldots, A_n') schema relazionale
• r_1 istanza di R_1
• r_2 istanza di R_2
• r_1 \bowtie r_2 è detto join naturale di r_1 e r_2 ⚠️ manca definizione

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • D_1, \ldots, D_n, D_1' , \ldots , D_n' domini \mid \forall i \in [1, n] \quad D_i = D_i'
  • R_1 \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
  • R_2 \subseteq D_1' \times \ldots \times D_n' relazione
  • R_1(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
  • R_2(A_1', \ldots, A_n') schema relazionale
  • \nexists A \in \{A_1, \ldots, A_n, A_1', \ldots, A_n'\} \mid \exists A' \in \{A_1, \ldots, A_n, A_1', \ldots, A_n'\} : A = A', dunque gli attributi di R_1 ed R_2 sono tutti distinti
  • r_1 istanza di R_1
  • r_2 istanza di R_2
• Th
  • r_1 \times r_2 = r_1 \bowtie r_2
• Dim
  • poiché non ci sono attributi in comune tra R_1 ed R_2, di fatto non ci sono né righe né colonne da correggere in r_1 \times r_2, dunque necessariamente r_1 \times r_2 = r_1 \bowtie r_2