• Chiave e superchiave di una relazione

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• X \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) è detta superchiave di R \iff \forall r istanza di R \quad \forall t_1, t_2 \in r \quad t_1[X] = t_2[X] \implies t_1 = t_2
• X è detta chiave di R \iff \nexists X' \subset X \mid X' chiave di R

• Hp
  • n \in \mathbb{N}
  • D_1, \ldots, D_n domini
  • R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
  • R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
  • K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n)
• Th
  • K superchiave di R \iff K \rightarrow R \in F^+
  • K chiave di R \iff K superchiave di R \land \nexists K' \subseteq K \mid K' \rightarrow R \in F^+

• Hp
  • n, k \in \mathbb{N}
  • D_1, \ldots, D_n domini
  • R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
  • R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
  • X \subseteq R(A_1, \ldots, A_n)
  • F_1, \ldots, F_k dipendenze funzionali su R
  • F = \{F_1, \ldots, F_k\}
• Th
  • X^+_F = R \iff X superchiave di R
• Dim
  • X^+_F := \{A \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) \mid X \rightarrow A \in F^A = F^+\}, allora X^+_F = R \iff \forall Y \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) \quad X \rightarrow Y \in F^A = F^+, ovvero X \rightarrow R \in F^+, e per osservazione precedente X \rightarrow R \in F^+ \iff X superchiave di R

• Hp
  • n, k \in \mathbb{N}
  • D_1, \ldots, D_n domini
  • R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
  • R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
  • F_1, \ldots, F_k dipendenze funzionali
  • F = \{F_1, \ldots, F_k\}
  • X = \displaystyle \bigcap_{F_i:= A \rightarrow B \in F}{R - (B - A)}
• Th
  • X^+_F=R \iff X chiave unica in R

• Attributo primo

• n \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• A \in R(A_1, \ldots, A_n)
• A è detto primo \iff \exists K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) chiave di R \mid A \in K

• Terza forma normale

• n, k \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) chiave di R
• F_1, \ldots, F_k dipendenze funzionali su R
• F = \{F_1, \ldots, F_k\}
• R si dice essere in terza forma normale \iff \forall A \in R(A_1, \ldots, A_n), X \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) \mid X \rightarrow A \in F^+, A \notin X \quad A \in K \lor K \subseteq X
  • in particolare, per ogni dipendenza funzionale non banale in F^+, o il determinante è superchiave, o il determinato è primo
  • la terza forma normale garantisce una riduzione dei problemi di ridondanza, di inserimento, di aggiornamento e di eliminazione

• Hp
  • n, k \in \mathbb{N}
  • D_1, \ldots, D_n domini
  • R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
  • R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
  • K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) chiave di R
  • F_1, \ldots, F_k dipendenze funzionali su R
  • F = \{F_1, \ldots, F_k\}
• Th
  • R in terza forma normale \iff \forall X, Y \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) \mid Y:= A_i \ldots A_j, X \rightarrow Y \in F^+, Y \nsubseteq X \quad \forall h \in [i, j] \quad A_h \in K \lor K \subseteq X, dunque basta decomporre X \rightarrow Y \in F^+ e controllare gli A_i \ldots A_j

• Dipendenza parziale

• n, k \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) chiave di R
• F_1, \ldots, F_k dipendenze funzionali su R
• F = \{F_1, \ldots, F_k\}
• A \in R(A_1, \ldots, A_n)
• X \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) \mid X \rightarrow A \in F^+, A \notin X
• X \rightarrow A \in F^+ è detta dipendenza parziale su R \iff A non primo e X \subset K
  • in particolare X \neq K

• Dipendenza transitiva

• n, k \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• F_1, \ldots, F_k dipendenze funzionali su R
• F = \{F_1, \ldots, F_k\}
• A \in R(A_1, \ldots, A_n)
• X \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) \mid X \rightarrow A \in F^+, A \notin X
• X \rightarrow A \in F^+ è detta dipendenza transitiva su R \iff A non primo e \forall K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) chiave di R \quad K - X \neq \varnothing \land X \not \subset K
  • in particolare \forall K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) chiave di R \quad X \neq K

• Hp
  • n, k \in \mathbb{N}
  • D_1, \ldots, D_n domini
  • R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
  • R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
  • K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) chiave di R
  • F_1, \ldots, F_k dipendenze funzionali su R
  • F = \{F_1, \ldots, F_k\}
• Th
  • R in terza forma normale \iff \nexists X, Y \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) \mid X \rightarrow Y \in F^+ dipendenza parziale o X \rightarrow Y \in F^+ dipendenza transitiva

• Forma Normale di Boyce-Codd

• n, k \in \mathbb{N}
• D_1, \ldots, D_n domini
• R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
• R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale
• K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) chiave di R
• F_1, \ldots, F_k dipendenze funzionali su R
• F = \{F_1, \ldots, F_k\}
• R si dice essere in forma normale di Boyce-Codd \iff \forall X \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) \mid X determinante per qualche F_i \in F \quad \exists K \subseteq R(A_1, \ldots, A_n) superchiave di R \mid X \subseteq K

• Hp
  • n, k \in \mathbb{N}
  • D_1, \ldots, D_n domini
  • R \subseteq D_1 \times \ldots \times D_n relazione
  • R(A_1, \ldots, A_n) schema relazionale \mid R in forma normale di Boyce-Codd
  • F_1, \ldots, F_k dipendenze funzionali su R
  • F = \{F_1, \ldots, F_k\}
• Th
  • R in terza forma normale